Identitat del pal d'hockey

En matemàtica combinatòria es coneix com a Identitat del pal d'hockey^[1] o Identitat del Calcetí de Nadal^[2] a l'igualtat:

$\sum_{i = r}^{n} (\binom{i}{r}) = (\binom{n + 1}{r + 1}) \forall n, r \in ℕ & n \geq r$

o a la seua image equivalent per mig de la substitució $j \to i - r$ :

$\sum_{j = 0}^{n - r} (\binom{j + r}{r}) = (\binom{n + 1}{n - r})$

Archiu:Identidad del palo de hockey.jpg

Triàngul de Pascal en files des de la 0 fins a la 13. En l'ilustració es mostren 3 casos de comprovació de l'Identitat del pal d'hockey.

la qual representa la suma de $n$ o $n - r + 1$ elements, en la segona igualtat, d'una diagonal del triàngul de Pascal. El nom d'esta igualtat prové de la seua representació gràfica sobre dit triàngul, ya que quan es resalten els sumants i el total, la forma revelada recorda vagament a eixos objectes.

Demostracions

Com a pas previ a les demostracions, cal recordar la cridada Regla de Pascal que relaciona els elements d'una fila del triàngul de Pascal en els de la fila següent:

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$

O al seu equivalent:

$(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$

Inducció matemàtica

Siga $n = r$

$\sum_{i = r}^{n} (\binom{i}{r}) = \sum_{i = r}^{r} (\binom{i}{r}) = 1 = (\binom{r + 1}{r + 1}) = (\binom{n + 1}{r + 1})$

Supongam que l'identitat es complix per a tot número $k \in ℕ, k \geq r$ , per lo que és vàlit expressar que:

$\sum_{i = r}^{k} (\binom{i}{r}) = (\binom{k + 1}{r + 1})$

Llavors, l'igualtat deu complir-se per al número $k + 1$ :

$\begin{matrix} \sum_{i = r}^{k + 1} (\binom{i}{r}) & = \sum_{i = r}^{k} (\binom{i}{r}) + (\binom{k + 1}{r}) \\ = (\binom{k + 1}{r + 1}) + (\binom{k + 1}{r}) \\ = (\binom{k + 2}{r + 1}) \end{matrix}$

Per lo que queda demostrada l'identitat de manera inductiva.

Prova algebraica (I)

Prengam l'identitat bàsica i usem l'equació equivalent de l'Identitat de Pascal de manera directa:

\begin{matrix} \sum_{t = k}^{n} (\binom{t}{k}) & = \sum_{t = k}^{n} [(\binom{t + 1}{k + 1}) - (\binom{t}{k + 1})] \\ = \sum_{t = k}^{n} (\binom{t + 1}{k + 1}) - \sum_{t = k}^{n} (\binom{t}{k + 1}) \\ = \sum_{t = k + 1}^{n + 1} (\binom{t}{k + 1}) - \sum_{t = k}^{n} (\binom{t}{k + 1}) & Cambio de variables \\ = (\binom{n + 1}{k + 1}) - \underset{0}{\underset{⏟}{(\binom{k}{k + 1})}} & Desarrollo de los sumatorios \\ = (\binom{n + 1}{k + 1}) & Resultado final \end{matrix}

Prova algebraica (II)

Considerem la série geomètrica: $S = 1 + (1 + x) + (1 + x)^{2} + (1 + x)^{3} + \dots + (1 + x)^{n}$

Ya que la raó d'esta série és $(1 + x)$ , l'igualtat anterior es transforma en:

$\begin{matrix} 1 + (1 + x) + (1 + x)^{2} + (1 + x)^{3} + \dots + (1 + x)^{n} & = \frac{(1 + x)^{n + 1} - 1}{(1 + x) - 1} \\ = \sum_{j = 1}^{n + 1} (\binom{n + 1}{j}) x^{j - 1} \end{matrix}$

Desenrollem els diferents binomis a partir de $(1 + x)^{k}$ :

$\begin{matrix} (1 + x)^{k} & = (\binom{k}{0}) + \dots + (\binom{k}{k}) x^{k} \\ (1 + x)^{k + 1} & = (\binom{k + 1}{0}) + \dots + (\binom{k + 1}{k}) x^{k} + (\binom{k + 1}{k + 1}) x^{k + 1} \\ (1 + x)^{k + 2} & = (\binom{k + 2}{0}) + \dots + (\binom{k + 2}{k}) x^{k} + (\binom{k + 2}{k + 1}) x^{k + 1} + (\binom{k + 2}{k + 2}) x^{k + 2} \\ \dots \\ (1 + x)^{n} & = (\binom{n}{0}) + \dots + (\binom{n}{k}) x^{k} + \dots + (\binom{n}{n}) x^{n} \end{matrix}$

En sumar tots els coeficients binomiales del terme $x^{k}$ i substituir despuix $j \to k + 1$ obtenim:

$\begin{matrix} [r l r] (\binom{k}{k}) + (\binom{k + 1}{k}) + (\binom{k + 2}{k}) + \dots + (\binom{n}{k}) & = & (\binom{n + 1}{k + 1}) \\ \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{k + j}{k}) & = & (\binom{n + 1}{k + 1}) \\ \sum_{t = k}^{n} (\binom{t}{k}) & = & (\binom{n + 1}{k + 1}) & Haciendo cambio de variable \end{matrix}$

en lo que queda demostrada l'identitat.

Prova combinatòria (I)

Imagine que estem distribuint caramelos indistinguibles a chiquets distinguibles. Per mig d'una aplicació directa del método d'estreles i barres, existixen

(\binom{n + k - 1}{k - 1})

formes de distribuir-los. De manera alterna, primer podem donar-li $0 \leq i \leq n$ caramelos al major dels chiquets, de modo que en essència, donem $n - i$ caramelos als $k - 1$ chiquets restants.i, novament, per mig de doble conteo i el método de les estreles i barres, nosatres tenim:

$(\binom{n + k - 1}{k - 1}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n + k - 2 - i}{k - 2})$

la qual cosa se simplifica al resultat desijat, fent un canvi de variable, en prendre $n^{'} = n + k - 2$ i $r = k - 2$ i observant que $n^{'} - n = k - 2 = r$ :

$(\binom{n^{'} + 1}{r + 1}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n^{'} - i}{r}) = \sum_{i = r}^{n^{'}} (\binom{i}{r})$

Prova combinatòria (II)

Podem formar un comité d'un tamany de $k + 1$ persones a partir d'un grup de $n + 1$ persones en

(\binom{n + 1}{k + 1})

maneres. Ara entreguem números com $1, 2, 3, \dots, n - k + 1$ a $n - k + 1$ de les $n + 1$ persones. Podem dividir açò en $n - k + 1$ casos inconexos. En general, en el cas d'un número $x$ , tal que $1 ⩽ x ⩽ n - k + 1$ , la persona en el número $x$ està en el comité i les persones $1, 2, 3, \dots, x - 1$ no estan en dit comité. Açò es pot fer de

(\binom{n - x + 1}{k})

maneres. Ara, podem sumar els valors d'estos $n - k + 1$ casos diferents, obtenint:

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 2}{k}) + \dots + (\binom{k + 1}{k}) + (\binom{k}{k}) .

lo que, novament prova l'identitat.

Vore també

Referències

↑ The Fibonacci Quarterly.34(3)
280-288.Consultat el 15 de març de 2021.
↑ «Christmas Stocking Theorem» (en en). MathWorld-A Wolfram Web Resource.. Consultat el 15 de març de 2021.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Identidad del palo de hockey» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] The Fibonacci Quarterly.34(3)
280-288.Consultat el 15 de març de 2021.

[2] «Christmas Stocking Theorem» (en en). MathWorld-A Wolfram Web Resource.. Consultat el 15 de març de 2021.

[1]

[2]