Identitat de Vandermonde

Plantilla:Vore

En teoria combinatòria, l'identitat de Vandermonde o convolución de Vandermonde, que rep el seu nom del matemàtic francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), expressa la següent relació entre coeficients binomiales:

(\binom{m + n}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{r - k}), m, n, r \in ℕ_{0},

Esta identitat ya havia segut descoberta en 1303 pel matemàtic chinenc Zhu Shijie (Chu Shi-Chieh).^[1]

Per una atra part, existix una q-analogia d'esta teorema denominada q-identitat de Vandermonde.

Prova algebraica

En general, el producte de dos polinomis en graus m i n respectivament, està donat per l'equació:

(\sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i}) (\sum_{j = 0}^{n} b_{j} x^{j}) = \sum_{r = 0}^{m + n} (\sum_{k = 0}^{r} a_{k} b_{r - k}) x^{r},

en la qual s'utilisa la convenció de que a_i = 0 per a tots els sancers i > m i b_j = 0 per a tots els sancers j > n. Segons el teorema del binomi:

(1 + x)^{m + n} = \sum_{r = 0}^{m + n} (\binom{m + n}{r}) x^{r} .

Usant la teorema del binomi per als exponents m i n, i després la fòrmula anterior per al producte de polinomis, s'obté:

\begin{matrix} \sum_{r = 0}^{m + n} (\binom{m + n}{r}) x^{r} & = (1 + x)^{m + n} \\ = (1 + x)^{m} (1 + x)^{n} \\ = (\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) x^{i}) (\sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{j}) \\ = \sum_{r = 0}^{m + n} (\sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{r - k})) x^{r}, \end{matrix}

el conveni anteriorment establit per als coeficients dels polinomis està d'acort en la definició dels coeficients binomiales, perque abdós donen zero per a tot i > m i j > n, respectivament.

Per mig de la comparació dels coeficients de x^r, s'observa que l'identitat de Vandermonde es complix per a tots els número entero r en 0 ≤ r ≤ m + n. Per a sancers majors que r, els dos costats de l'identitat de Vandermonde són zero per la definició dels coeficients binomiales.

Prova combinatòria

L'identitat de Vandermonde admet una segona demostració combinatòria, com es desenrolla a continuació. Suponga's que un comité consistix de m hòmens i n dònes. ¿De quantes maneres pot formar-se un subcomité de r membres? La resposta és

(\binom{m + n}{r}) .

Ademés, la solució també és la suma de tots els valors possibles de k per a la série de subcomités que conten en k hòmens i r − k dònes:

\sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{r - k}) .

De l'igualtat d'abdós valors, s'obté l'identitat de Vandermonde.

Referències

↑ Askey 1975, pp. 59–60 Explica l'història del descobriment

(1975).«Orthogonal polynomials and special functions».SIAM.Philadelphia, PA:21

viii+110.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Identidad de Vandermonde» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Askey 1975, pp. 59–60 Explica l'història del descobriment

[1]