Interpolació de Aitken

La interpolació de Aitken és un procediment iterativo per a calcular valors corresponents al polinomi de Lagrange d'un conjunt de punts donat. Permet introduir informació sobre nous punts en el polinomi en un increment de temps de càlcul d'orde quadràtic sobre el número de nodos d'interpolació.

Definició

Siga $P_{i, \dots, j} (x)$ un polinomi de Lagrange obtingut a partir d'un conjunt de punts de partida $(x_{i}, y_{i}), (x_{i + 1}, y_{i + 1}), \dots, (x_{j}, y_{j})$ . Llavors, es complix la següent relació:

$P_{i} (x) = y_{i}$ (cas degenerado, polinomi de grau zero - constant)

$P_{i, \dots, j} (x) = \frac{1}{x_{j} - x_{i}} | \begin{matrix} x - x_{i} & P_{i, \dots, j - 1} (x) \\ x - x_{j} & P_{i + 1, \dots, j} (x) \end{matrix} |$

(esta segona expressió implica que una interpolació de grau n es pot obtindre per mig de l'interpolació llineal de dos interpolacions de grau (n-1))

Demostració

La prova és fàcil de deduir per inducció. Sense pèrdua de generalitat, es pren per conveniència $i = 0$ , $j = n$ .

Sean $P_{0, \dots, n - 1} (x)$ i $P_{1, \dots, n} (x)$ els polinomis de Lagrange per als conjunts de punts corresponents. Açò significa que $P_{0, \dots, n - 1} (x) = \sum_{i = 0}^{n - 1} y_{i} \prod_{j = 0; j = i}^{n - 1} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ i $P_{1, \dots, n} (x) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \prod_{j = 1; j = i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$

Si es denominen $A_{i} = \prod_{j = 0; j = i}^{n} (x - x_{j})$ ; $T_{i} = y_{i} \prod_{j = 0; j = i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}$ i $X_{i} = \prod_{j = 1; j = i}^{n - 1} (x_{i} - x_{j})$ llavors és obvi que

$\frac{1}{x_{n} - x_{0}} | \begin{matrix} x - x_{0} & P_{0, \dots, n - 1} (x) \\ x - x_{n} & P_{1, \dots, n} (x) \end{matrix} | = T_{0} + T_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} y_{i} (\frac{A_{i}}{X_{i} (x_{i} - x_{n}) (x_{n} - x_{0})} - \frac{A_{i}}{X_{i} (x_{i} - x_{0}) (x_{n} - x_{0})}) =$

$= T_{0} + T_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} y_{i} \frac{A_{i} x_{n} - A_{i} x_{0}}{X_{i} (x_{i} - x_{n}) (x_{i} - x_{0}) (x_{n} - x_{0})} = T_{0} + T_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} y_{i} \frac{A_{i}}{X_{i} (x_{i} - x_{n}) (x_{i} - x_{0})} = \sum_{i = 0}^{n} T_{i}$ ,

lo que coincidix en el polinomi de Lagrange del conjunt total de punts.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Interpolación de Aitken» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.