Interpolació polinòmica de Lagrange

Archiu:Lagrange polynomial.svg

En esta image es mostra, per a quatre punts ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), l'interpolació polinòmica (cúbica) L(x), que és la suma de les quatre bases polinòmiques l₁(x), l₂(x), l₃(x) i l₄(x),
escalades respectivament pels factors:
Plantilla:Frac, Plantilla:Frac, Plantilla:Frac i Plantilla:Frac.
L'interpolació polinòmica L(x) passa exactament pels quatre punts (cridats punts de control) i cada base polinòmica escalada passa pel seu respectiu punt de control i s'anula quan x correspon als atres punts de control

En anàlisis numèric, el polinomi de Lagrange, cridat aixina en honor a Joseph-Louis de Lagrange, és una forma de presentar el polinomi que interpola un conjunt de punts donat. Lagrange va publicar este resultat en 1795, pero ho va descobrir Edward Waring en 1779 i va ser redescubierto més vesprada per Leonhard Euler en 1783.^[1] Ya que no existix un únic polinomi interpolador per a un determinat conjunt de punts, resulta alguna cosa enganyós cridar a este polinomi el polinomi interpolador de Lagrange. Un nom més apropiat és interpolació polinòmica en la forma de Lagrange.

Definició

Donat un conjunt de k + 1 punts

(x_{0}, y_{0}), \dots, (x_{k}, y_{k})

a on tots els x_j s'assumixen distints, el polinomi interpolador en la forma de Lagrange és la combinació llineal

L (x) = \sum_{j = 0}^{k} y_{j} ℓ_{j} (x)

de bases polinòmiques de Lagrange

ℓ_{j} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{k} \frac{x - x_{i}}{x_{j} - x_{i}} = \frac{x - x_{0}}{x_{j} - x_{0}} \dots \frac{x - x_{j - 1}}{x_{j} - x_{j - 1}} \frac{x - x_{j + 1}}{x_{j} - x_{j + 1}} \dots \frac{x - x_{k}}{x_{j} - x_{k}}

Per a tot $i \neq j$ , $ℓ_{j} (x)$ inclou en el numerador el terme $(x - x_{i})$ , de modo que el producte complet valdrà zero en $x = x_{i}$ :

\forall (j \neq i) : ℓ_{j} (x_{i}) = \prod_{m \neq j} \frac{x_{i} - x_{m}}{x_{j} - x_{m}} = \frac{(x_{i} - x_{0})}{(x_{j} - x_{0})} \dots \frac{(x_{i} - x_{i})}{(x_{j} - x_{i})} \dots \frac{(x_{i} - x_{k})}{(x_{j} - x_{k})} = 0.

Per un atre costat,

ℓ_{j} (x_{j}) : = \prod_{m \neq j} \frac{x_{j} - x_{m}}{x_{j} - x_{m}} = 1

En atres paraules, totes les bases polinòmiques de Lagrange valen zero en $x = x_{i}$ , llevat $ℓ_{j} (x)$ , per al que aplica $ℓ_{j} (x_{j}) = 1$ , ya que carix del terme $(x - x_{j})$ en el numerador.

Per tant es deriva que $y_{j} ℓ_{j} (x_{j}) = y_{j}$ , en cada punt $x_{j}$ , $L (x_{j}) = y_{j} + 0 + 0 + \dots + 0 = y_{j}$ , demostrant que $L$ interpola la funció de forma exacta.

Demostració

La funció que estem buscant és una funció polinòmica L(x) de grau, com a molt, k en el problema d'interpolació pot tindre tan sol una solució, puix la diferència entre dos tals solucions, seria un atre polinomi de grau k com a molt, en k+1 zeros.

Per lo tant, L(x) és l'únic polinomi interpolador

Vore també

Interpolació polinòmica
Forma de Newton del polinomi interpolador
Forma de Bernstein del polinomi interpolador
Fòrmules de Newton-Cotes

Referències

↑ (2002).«A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing».Proceedings of the IEEE.90(3)
319–342.doi:10.1109/5.993400..

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Interpolación polinómica de Lagrange» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2002).«A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing».Proceedings of the IEEE.90(3)
319–342.doi:10.1109/5.993400..

[1]