Polinomi de Bernstein

Els polinomis de Bernstein o polinomis en la base de Bernstein són una classe particular de polinomis en el camp dels número real, que són utilisats dins de l'àmbit del anàlisis numèric. El nom fa referència al matemàtic ucranià Sergei Natanovich Bernstein.

l'algoritme d'evaluació més numèricament estable és el de [[algoritme de De Casteljau|De Casteljau]].

Definició

Un polinomi de Bernstein $P(x)$ d'orde n aproxima una funció $f(x)$ en un interval, millor quant major siga n, a partir d'esta fòrmula:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{c}_i{B}_i^n(x)$

a on els $B_i^n(x)$ són elements de la distribució binomial respecte de la variable $x$ i els $c_i$ són valors de la funció que volem aproximar.

Per a aproximar la funció en l'interval $[0,1]$ estos elements prenen els següents valors:

$c_i=f\left(\frac{i}{n}\right)\text{y}{B}_i^n(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i(1-x{)}^{n-i}$

(ací $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$ és el coeficient binomial).

i més en general transformant les equacions per a un interval $[a,b]$, els $B_i^n(x{)}_{[a,b]}$ es convertixen en polinomis de la base de Bernstein:

$c_i=f(i\frac{b-a}{n}+a)\text{y}{B}_i^n(x{)}_{[a,b]}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{(x-a{)}^i(b-x{)}^{n-i}}{(b-a{)}^n}$

Aixina, la fòrmula general desenrollada és:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(i\frac{b-a}{n}+a)\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{(x-a{)}^i(b-x{)}^{n-i}}{(b-a{)}^n}$

Propietats

Polinomis de Bernstein de grau 3.

Per a un grau n, existixen n+1 polinomis de Bernstein $B_0^n,\dots ,B_n^n$ definits sobre l'interval $[a,b]$ , per

$B_i^n(x{)}_{[a,b]}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{(x-a{)}^i(b-x{)}^{n-i}}{(b-a{)}^n}$

Estos polinomis presenten estes propietats importants, que complixen per a qualsevol valor de $x$ en l'interval $[a,b]$

1. Partició de l'unitat : $\sum _{i=0}^n{B}_i^n(x)=1$
2. Positividad : $B_i^n(x)\ge 0,\mathrm{\forall }i\in 0\dots n$
3. Simetria : $B_i^n(x)=B_{n-i}^n(1-x),\mathrm{\forall }i\in 0\dots n$

Les dos primeres propietats nos indiquen que formen una combinació convexa. La modificació per escala i translació d'interval no influïx sobre els coeficients del polinomi en qüestió. S'ha de notar la gran semblança d'estos polinomis en la distribució binomial.

Per a l'interval $[0,1]$ existix esta fòrmula de recurrencia:

$B_i^n(x)=\{\begin{array}{cc}(1-x)B_i^{n-1}(x),& i=0\\ (1-x)B_i^{n-1}(x)+x{B}_{i-1}^{n-1}(x),& i=1\dots n-1\\ x{B}_{i-1}^{n-1}(x),& i=n\end{array}$.

Vore també

• Algoritme de "De Casteljau"
• Curva de Beziér
• Aproximació de Bernstein, permet aproximar uniformemente funcions contínues.