Interpretació de Bohm

La interpretació de Bohm (també cridada teoria de la "ona pilot" o interpretació causal) és una interpretació de la teoria quàntica postulada per David Bohm en 1952 com una extensió de la ona guia de Louis de Broglie de 1927. Conseqüentment és cridada a voltes teoria de Broglie-Bohm.

La teoria té vàries formulació matemàtiques possibles i ha segut presentada baix diferents nomenes.

Introducció

L'interpretació és un eixemple de teoria de variables amagades en la que s'admet que les variables amagades poden proveir una descripció objectiva determinística que puga resoldre o eliminar moltes de les paradoxes de la mecànica quàntica, com el gat de Schrödinger, el problema de la mida, el colapse de la funció d'ona, etc. La teoria de Bohm ademés és una teoria determinista. La majoria de les variables relativísticas (no totes) requerixen, no obstant, un sistema privilegiat de referència. Les variables que porten l'espin i els espais curvos són possibles també en esta teoria i poden traslladar-se a la teoria quàntica de camps.

Comparació en l'interpretació convencional

En el formalisme de la teoria de De Broglie–Bohm, com en el de la mecànica quàntica convencional, existix una funció d'ona - una funció en l'espai de totes les configuracions possibles, pero adicionalment conté també una configuració real, inclús per a situacions a on no hi ha observador. l'evolució temporal de les posicions de totes les partícules i la configuració de tots els camps queda definida per la funció d'ona, que satisfà l'equació guia. L'evolució temporal de la pròpia funció d'ona ve donada per l'equació de Schrödinger com en la mecànica quàntica no relativista.

Experiment de la doble rendija

Archiu:Doppelspalt.svg

Les trayectòries Bohmianas per a un electró en l'experiment de la doble rendija.

l'experiment de la doble rendija és una ilustració de la dualitat ona-partícula. En ell un canó de partícules (com, per eixemple, fotons) viaja a través d'una barrera en dos rendijas. Si coloquem una pantalla detectora en l'atre costat, el patró de les partícules detectades mostra les franges d'interferència característic de les ones; no obstant, la pantalla del detector respon a les partícules. El sistema exhibix el comportament de les ones (patrons d'interferència) i al mateix temps de les partícules (punts en la pantalla).

Si modifiquem este experiment de manera que una de les rendijas està tancada, no s'observa cap patró d'interferència. Aixina l'estat d'abdós rendijas afecta al resultat final. Podem també colocar un detector mínimament invasivo en una de les rendijas per a saber a través de quines rendija va passar la partícula. Si fem açò, els patrons d'interferència també desapareixen.

l'Interpretació de Copenhague establix que les partícules no posseïxen una localisació en l'espai abans del moment en el que són detectades, de manera que si no hi ha detector algun en les rendijas carix de sentit el fet i la pregunta d'a través de quina rendija ha passat la partícula. Si una rendija posseïx un detector, llavors la funció d'ona colapsa per la detecció.

En la teoria de Broglie–Bohm, la funció d'ona viaja a través d'abdós rendijas, pero cada partícula posseïx una trayectòria ben definida i pansa exactament a través d'una de les dos rendijas. La posició final de la partícula en la pantalla del detector i la rendija exacta a través de la qual passa la partícula està determinada per la posició inicial de la partícula. Tal posició inicial de la partícula no és controlable pels experiments, de manera que hi ha una apariència de aleatorietat en el patró de detecció. La funció d'ona interferix en si mateixa i guia a la partícula de tal manera que les partícules eviten les regions en les quals l'interferència és destructiva i són atretes cap a les regions a on l'interferència és constructiva produint aixina els patrons d'interferència en la pantalla del detector.

Per a explicar el comportament quan la partícula és detectada passant per una rendija, necessitem apreciar el rol de la funció d'ona condicional i com provoca esta el colapse de la funció d'ona; açò s'explica més avall. L'idea bàsica és que l'entorn que registra la detecció, separa efectivament els dos paquets d'ones en l'espai de configuració.

Aspectes generals

Ontologia de l'interpretació

L'ontologia de la teoria de Broglie-Bohm consistix en una configuració $q(t)\in Q$ de l'univers i una ona pilot $\psi (q,t)\in ℂ$. L'espai de configuració $Q$ pot elegir-se de manera diferent, com en mecànica clàssica i en la mecànica quàntica estàndar.

Aixina, l'ontologia de la teoria de l'ona pilot conté tant la trayectòria $q(t)\in Q$ que coneixem en la mecànica clàssica, com la funció d'ona $\psi (q,t)\in ℂ$ de la teoria quàntica. Aixina, en cada moment no solament tenim una funció d'ona sino que també existix una configuració ben definida de l'univers sancer. La correspondència en les nostres experiències es produïx per l'identificació de la configuració del nostre cervell en alguna part de la configuració de l'univers sancer $q(t)\in Q$, tal com ocorre en la mecànica clàssica.

Mentres que l'ontologia de la mecànica clàssica és part de l'ontologia de la teoria de Broglie-Bohm,les dinàmiques són molt diferents. En la mecànica clàssica les partícules són accelerades directament per forces existents en l'espai físic tridimensional. En la teoria de Broglie-Bohm, la velocitat de les partícules els és impartida per una funció d'ona existent en una configuració espacial de dimensions 3N, a on N és el número total de partícules que integren el sistema.

En lo que seguix, vorem com s'establix tot açò per al cas d'una partícula movent-se en ${ℝ}^3$ i a continuació per a $N$ partícules movent-se en 3 dimensions. En la primera instància, l'espai de configuració i l'espai real són el mateix, mentres que en la segona l'espai real és encara ${ℝ}^3$, pero ara l'espai de configuració es convertix en ${ℝ}^{3N}$. Mentres que les posicions de les partícules permaneixen en l'espai real, el camp velocitat i les funcions d'ona estan sobre l'espai de configuració i és aixina com les partícules estan entrellaçades unes en atres en esta teoria.

Extensions a esta teoria inclouen l'espin i espais de configuració més complicats.

S'usen variacions de $𝐐$ per a les posicions de les partícules mentres que $\psi$ representa el valor complex de la funció d'ona sobre l'espai de configuració.

Formalisme

La teoria de Broglie–Bohm es basa en lo següent: partint d'una configuració $q$ per a l'univers, descrita per coordenades $q^k$, que és un element de l'espai de configuració $Q$. L'espai de configuració és diferent per a diferents versions de la teoria de l'ona pilot. Per eixemple, est pot ser l'espai de posicions ${𝐐}_k$ de $N$ partícules, o en el cas de teoria de camps, l'espai de les configuracions dels camps $\varphi (x)$. La configuració es desenvuelve d'acort en l'equació guia

Ací, $\psi (q,t)$ és la funció d'ona estàndar de valor complex coneguda en la teoria quàntica, que es desenvuelve segons l'equació de Schrödinger:

Açò completa l'especificació de la teoria per a qualsevol teoria quàntica en un operador hamiltoniano de tipo

Si la configuració posseïx una distribució d'acort en $|\psi (q,t){|}^2$ en algun moment del temps $t$, llavors també ho fa en qualsevol atre moment temporal. Tal estat es denomina equilibri quàntic. En un estat d'equilibri quàntic, esta teoria està d'acort en els resultats de la mecànica quàntica estàndar.

Equació guia

Per a una única partícula movent-se en ${ℝ}^3$, la velocitat de la partícula ve donada per

Per a múltiples partícules indiquem ${𝐐}_k$ per a la partícula $k$, la seua velocitat ve donada per

El fet clau que devem resaltar és que la velocitat depén de les posicions actuals de totes les $N$ partícules de l'univers. Com expliquem més avall, en la majoria de les situacions experimentals, l'influència de totes les partícules pot quedar encapsulada en la funció d'ona efectiva d'un subsistema de l'univers.

Bohm i el problema de la mida

Esta teoria oferix un formalisme per a la medició anàlec al de la termodinàmica en la mecànica clàssica, del que carix el formalisme estàndar generalment associat a l'Interpretació de Copenhague. El problema de la mida es resol molt fàcilment en esta teoria, ya que el resultat d'un experiment és produït per l'interacció en la configuració de les partícules de l'aparat de mida quan este es realisa. El colapse de la funció d'ona que en l'interpretació de Copenhague deu postular-se, emergix ací de manera natural de l'anàlisis dels subsistema baix l'hipòtesis d'equilibri quàntic.

Dificultats de l'interpretació

La desigualtat de Bell supon un resultat negatiu per a cert tipo de teories com la de Bohm. De fet el descobriment del Teorema de Bell va ser inspirat pel treball de David Bohm.

Dit teorema és un teorema d'impossibilitat que demostra que no existixen teories de variables amagades locals que siguen compatibles en la mecànica quàntica. Aixina l'interpretació de Bohm està condenada a eliminar la localitat o el d'objectivitat física. L'interpretació de Bohm opta per conservar l'objectivitat física i acceptar la no-localitat. Naturalment la no-localitat supon certa incoherència en la teoria de la relativitat convencional.

La teoria de Broglie–Bohm expressa d'una manera explícita la no localitat que apareix en la física quàntica. La velocitat de qualsevol partícula depén del valor de la funció d'ona, la qual depén a la seua volta de la configuració global de la totalitat de l'univers.

Equació de Schrödinger

L'equació de Schrödinger per a una partícula governa l'evolució temporal d'una funció d'ona de valor complex en ${ℝ}^3$. L'equació representa una versió cuantizada de l'energia total d'un sistema clàssic desenvolviéndose baix una funció potencial de valor real $V$ en ${ℝ}^3$:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V\psi$

Per a múltiples partícules, l'equació és la mateixa llevat en que $\psi$ i $V$ estan ara sobre l'espai de configuració, ${ℝ}^{3N}$.

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =-\sum _{k=1}^N\frac{{\hslash }^2}{2m_k}\underset{k}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}\psi +V\psi$

Esta és la mateixa funció d'ona de la mecànica quàntica convencional.

La Regla de Born

En els escrits originals de Bohm [Bohm 1952], l'autor discutix cóm la teoria de Broglie–Bohm aplega als mateixos resultats en la medició que la mecànica quàntica. L'idea clau és que això seria cert si les posicions de les partícules satisfan la distribució estadística donada per $|\psi {|}^2$. Dita distribució queda garantisada en qualsevol moment per l'equació guia si la distribució inicial de les partícules satisfà $|\psi {|}^2$.

Per a un experiment donat, podem postular que açò és cert i verificar experimentalment que seguix sent-ho, com aixina ocorre efectivament. Pero, com argumenten Dürr et al., es necessitaria algun argument que mostre que esta distribució és la típica per a qualsevol subsistema. Argumenten que $|\psi {|}^2$ en virtut de la seua equivariancia baix l'evolució dinàmica del sistema, és la mida apropiada de tipicalidad per a les condicions inicials de les posicions de les partícules. A continuació es pot provar que una immensa majoria de les configuracions inicials possibles es corresponen en la regla de Born (i.i., $|\psi {|}^2$) sorgint aixina l'estadística que mostren les mides. Dit breument, el comportament segons la regla de Born és típic.

La situació és aixina anàloga a la situació en física clàssica estadística. Una situació inicial en baixa entropía es convertirà en una provabilitat extremadament alta, en un estat de major entropía: el comportament consistent en el segon principi de la termodinàmica és típic. Hi ha des de després, condicions inicials anómales que donarien lloc a violacions de la segona llei. No obstant, carint d'informació molt detallada sobre els estats inicials seria molt poc raonable esperar una atra cosa que l'increment de la entropía que observem actualment. Similarment, en la teoria de Broglie–Bohm, hi ha condicions inicials anómales que produirien medicions estadístiques que violarien la regla de Born (i.i., en conflicte en les prediccions de la teoria quàntica estàndar). Pero la teorema de tipicalidad mostra que llevat en els casos en que hi haja una raó particular per a creure que hi ha unes condicions inicials especials de facto, el comportament segons la regla de Born és lo que deuríem esperar.

És per això que en un sentit qualificat, la regla de Born és una teorema en la teoria de Broglie–Bohm, mentres que en la teoria quàntica ordinària és un postulat que té que ser afegit.

La funció d'ona condicional d'un subsistema

En la formulació de la teoria de Broglie–Bohm, solament existix una funció d'ona per a l'univers sancer (que sempre es referix a l'equació de Schrödinger). No obstant, una volta que la teoria és formulada, és convenient introduir la noció de funció d'ona també per a subsistema en l'univers. Si escrivim la funció d'ona per a l'univers com $\psi (t,q^{\mathrm{I}},q^{\mathrm{I}\mathrm{I}})$, a on $q^{\mathrm{I}}$ denota les variables de configuració associades a algun subsistema (I) de l'univers i $q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}$ denota les variables de configuració restants. Denota, respectivament, per $Q^{\mathrm{I}}(t)$ i per $Q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t)$ la configuració actual de l'subsistema (I) i del restant de l'univers. Per simplicitat, considerem ací solament el cas sense espin. La funció d'ona condicional de l'subsistema (I) es definix com: ${\psi }^{\mathrm{I}}(t,q^{\mathrm{I}})=\psi (t,q^{\mathrm{I}},Q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t)).$

Se seguix immediatament del fet de que $Q(t)=(Q^{\mathrm{I}}(t),Q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t))$ satisfà l'equació guies que també la configuració $Q^{\mathrm{I}}(t)$ satisfà una equació guia idèntica a la presentada en la formulació de la teoria, en la funció d'ona universal $\psi$ reemplaçada per la funció d'ona condicional ${\psi }^{\mathrm{I}}$. També, el fet de que $Q(t)$ és aleatòria en densitat de provabilitat donada pel quadrat del mòdul de $\psi (t,\cdot )$ implica que la densitat de provabilitat condicional de $Q^{\mathrm{I}}(t)$ donada $Q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t)$ és donada pel quadrat del mòdul de la funció d'ona condicional (normalisada) ${\psi }^{\mathrm{I}}(t,\cdot )$ (en la terminologia de Dürr et al. este fet es diu la fòrmula fonamental de la provabilitat condicional).

A diferència de la funció d'ona universal, la funció d'ona condicional d'un subsistema no sempre es comporta segons l'equació de Schrödinger, pero en moltes situacions sí que ho fa. Per eixemple, si la funció d'ona universal es factoriza com:

$\psi (t,q^{\mathrm{I}},q^{\mathrm{I}\mathrm{I}})={\psi }^{\mathrm{I}}(t,q^{\mathrm{I}}){\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t,q^{\mathrm{I}\mathrm{I}})$

llavors la funció d'ona condicional d'un subsistema (I) és (llevat un factor escalar irrellevant) igual a ${\psi }^{\mathrm{I}}$ (açò és lo que la teoria quàntica estàndar consideraria com la funció d'ona d'un subsistema (I)). Si ademés, el Hamiltoniano no conté un terme d'interacció entre els subsistema (I) i (II) llavors ${\psi }^{\mathrm{I}}$ satisfà l'equació de Schrödinger. Més generalment, s'assumix que la funció d'ones universal $\psi$ pot ser escrita en la forma: $\psi (t,q^{\mathrm{I}},q^{\mathrm{I}\mathrm{I}})={\psi }^{\mathrm{I}}(t,q^{\mathrm{I}}){\psi }^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t,q^{\mathrm{I}\mathrm{I}})+\varphi (t,q^{\mathrm{I}},q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}),$

a on $\varphi$ resol l'equació de Schrödinger i $\varphi (t,q^{\mathrm{I}},Q^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(t))=0$ para tot $t$ i $q^{\mathrm{I}}$. Llavors, de nou, la funció d'ona condicional per a un subsistema (I) és (llevat un factor escalar irrellevant) igual a ${\psi }^{\mathrm{I}}$ i si el Hamiltoniano no conté un terme d'interacció entre els subsistema (I) i (II), ${\psi }^{\mathrm{I}}$ satisfà l'equació de Schrödinger.

El fet de que la funció d'ona condicional d'un subsistema no sempre complixca l'equació de Schrödinger es relaciona en el fet de que la regla usual del colapse postulat en la teoria quàntica estàndar emergix de forma natural del formalisme Bohmiano quan considerem les funcions d'ona condicionals dels subsistema.

Referències

Bibliografia

• (1952).Physical Review.85

166–179.doi:10.1103/PhysRev.85.166.

• (1952).Physical Review.85

180–193.doi:10.1103/PhysRev.85.180.

• Physical Review. (en espanyol)
• Physical Review. (en espanyol)
• Physical Review.108(4) (en espanyol)
• (1990).Philosophical Psychology.3(2)

271–286.doi:10.1080/09515089008573004.

• Bohm, David (1993). The Undivided Universe: An ontological interpretation of quàntum theory, London: Routledge. ISBN 0-415-12185-X.
• (2004).Physical review letters.93(9)

090402.ISSN 0031-9007.

• (1994).Scientific American.270

58–67.

• (2004).Physical Review D.69

065014.doi:10.1103/PhysRevD.69.065014.

• (2001).Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• (2004).37

9549.doi:10.1088/0305-4470/37/40/015. (Demonstrates incompleteness of the Bohm interpretation in the face of fractal, differentialble-nowhere wavefunctions.)

• Holland (1993). The Quàntum Theory of Motion: An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quàntum Mechanics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48543-6.
• (2004).18

549.doi:10.1007/s10702-005-1128-1.

• (2004).
• (2003).44

319.doi:10.1140/epjd/i2007-00191-8.

• (2005).J. Phys. A: Math. Gen..38

319.doi:10.1088/0305-4470/38/26/013. (Descrius a Bohmian resolution to the dilemma posed by senar-differentiable wavefunctions.)

• Silverman (1993). And Yet It Moves: Strange Systems and Subtle Questions in Physics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44631-7.
• «Bohmian mechanics is a "lost cause"». Archivat des d'el original, el 3 d'abril de 2005. Consultat el 25 de juny de 2006.
• (2004).
• Bohmian mechanics on arxiv.org