Lagos de Wada

Archiu:Lakes of Wada.png

Lagos de Wada

Archiu:Object representing the Lake of Wada.jpg

Objecte que representa el llac de Wada

En matemàtiques, els llac de Wada són una construcció formada per tres oberts conexos disjuntos del pla en una frontera comuna als tres. Esta construcció va ser publicada pel matemàtic japonés Kunizō Yoneyama en 1917, que la va nomenar aixina en honor al seu professor Takeo Wada. Este descobriment es va realisar de forma independent al del matemàtic holandés Brouwer, que en 1910 va trobar un eixemple similar.

Dels conjunts que compartixen una propietat similar es diuen que tenen la propietat de Wada. Entre els eixemples dels mateixos apareixen atractorés de sistemes dinàmics.

Construcció

La construcció formal dels llac de Wada pot iniciar-se en l'interior d'un quadrat de costat unitat, al que cridarem terra ferma. En ell cavarem tres llac (numerats com 0, 1 i 2 ) que anirem estenent en dies successius seguint la següent regla:

• Siga a_n una successió que convergixca a zero. En el dia n = 1, 2, 3, 4, ... estendrem el llac n mod 3 (= 1, 2, 0, 1...) de modo que passe a una distància a_n de la terra ferma restant.

Açò pot realisar-se de modo que la terra ferma conserve el seu interior conexo, i cada llac seguixca sent obert. En el llímit, despuix d'un número infinit de passos, els tres llac continuaran sent oberts conexos i disjuntos, i la terra ferma restant es convertirà en la frontera comuna a tots ells.

Esta construcció pot generalisar-se a qualsevol número finito k de llac substituint l'orde en que els estenem, originalment d'1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., per 1, 2, ..., k-1, 0, 1, 2,..., k-1,0,... . Pot inclús generalisar-se a un conjunt infinit numerable de llac seguint l'orde marcat per 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... .