Llògica de segon orde

Archiu:Kindl-Treppe Aug2021d.jpg

Llògica de segon orde

Una llògica de segon orde és una extensió d'una llògica de primer orde en la que s'afigen variables que representen propietats, funcions i relacions, i quantificadorés que operen sobre eixes variables. Aixina s'expandix el poder expressiu del llenguage sense tindre que agregar nous símbols llògics.

Introducció

La llògica de segon orde va sorgir de la presentació inicial de la llògica de predicats de Gottlob Frege.Ya distinguia dos tipos de quantificacions diferents (de variables o de predicats) pero no els separava com a llògiques distintes. Quan Bertrand Russell va enunciar la Paradoxa de Russell, llavors es va escomençar a diferenciar entre la llògica de primer orde i la llògica de segon orde i també es reflectix en l'axioma d'inducció de l'aritmètica de Giuseppe Peano:

Per a qualsevol conjunt X d'número entero, si $0\in X$ i ademés $n\in X\Rightarrow n+1\in X$, llavors es té que $\mathbb{N}\subseteq X$

L'expressió "per a qualsevol conjunt" requerix un llenguage en el que els quantificadors puguen comprendre no solament a variables que representen elements concrets sino també a relacions o funcions. Aixina el predicat $a\in X$ es representa per mig del símbol $\tilde{X}(a)$, l'axioma d'inducció es pot representar formalment com:

Ademés, una llògica de segon orde també pot quantificar sobre propietatés. Gràcies a això pot expressar, per eixemple, que tot individu o té una propietat o no la té:

O el principi d'identitat dels indiscernibles:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }P(Px\leftrightarrow Py)\to (x=y))$

No obstant, lo que es guanya en poder expressiu es pert en metateoría. Existixen propietats metateóricas generalment considerades desijables que les llògiques de segon orde no tenen i les llògiques de primer orde sí. Per eixemple, les llògiques de segon orde (en semàntica estàndar) són incompletes. Vol dir que no pot haver cap sistema deductivo finito a partir del com es puguen demostrar totes les veritats llògiques expressables en el llenguage. Açò és: el conjunt de les veritats del sistema és major que el conjunt de les veritats demostradores en el sistema. Açò es deu a que les llògiques de segon orde tenen el poder expressiu suficient per a ser afectades pels teoremes de incompletitud de Gödel.

Propietats metalógicas

La llògica de segon orde té un poder expressiu major que la llògica de primer orde. Eixe major poder expressiu permet axiomatizar sistemes matemàtics més complexos. És dir, hi ha proposicions no formalisables exactament utilitizando el formalisme de la llògica de primer orde que sí poden ser formalisades correctament en la llògica de segon orde. Sense dubte eixe últim fet constituïx una ventaja, no obstant, l'us de llògiques de segon orde comporta certes dificultats:

• El teorema de compacidad, que afirma que un conjunt de proposicions llògiques d'una llògica de primer orde és satisfactible si i solament si qualsevol subconjunt finito d'estes proposicions és satisfactible, no és vàlit per a una llògica de segon orde.

• El teorema de Löwenheim-Skolem que afirma que una llògica de primer orde en una cantitat finita de símbols diferents admet un model numerable no és vàlit per a una llògica de segon orde.

El fet de que estes dos teoremes, molt útils en certes aplicacions, no es poden generalisar a una llògica de segon orde reduïxen l'utilitat per a eixes aplicacions de les llògiques de segon orde. Per eixos problemes s'han buscat sistemes llògics intermijos que generalisen la llògica de primer orde sense aplegar a ser tan expressiva com una llògica de segon orde. Els teoremes de Lindström proporcionen informació sobre lo que cal esperar d'alguns de dits sistemes.

Vore també

• Llògica de primer orde
• Llògica d'orde superior

• Llògica d'orde zero