Método dels moments generalisat

El método dels moments generalisat (conegut com GMM per les seues sigles en anglés) és una tècnica econométrica genèrica d'estimació de paràmetros d'una equació de regressió, desenrollada com una extensió del método dels moments. La seua aplicació és recomanada quan hi ha sospita de problemes d'endogeneidad entre les variables explicatives del model i el número de moments és major que el número de paràmetros a estimar.

El GMM és considerat com una de les tècniques més alvançades en econometria i la seua aplicació és cada volta més freqüent. El método requerix que un determinat número de moments siguen especificats.

Presuposts

Donat un model d'estimació d'oferta i demanda d'un ben qualsevol, i sent $p_i$ el preu del be, en l'índex "i" representant cada observació d'este preu:

1) demanda: $q_i^d={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot p_i+u_i$, a on $q_i^d$ és la cantitat demandada.

2) oferta: $q_i^s={\beta }_0+{\beta }_1\cdot p_i+v_i$, a on $q_i^s$ és la cantitat oferida.

3) equilibri de mercat: $q_i^d=q_i^s=q_i$

Substituyendo l'equació 3 en les equacions 1 i 2, podem transformar les tres equacions en dos:

1) $q_i={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot p_i+u_i$

2) $q_i={\beta }_0+{\beta }_1\cdot p_i+v_i$

Es diu que un regresor (variable explicativa) és endógeno, si no ha segut predeterminat, o siga, si no és ortogonal a el "terme d'error". En l'eixemple de dalt el regresor $p_i$ és necessàriament endógeno en les dos equacions, puix és una funció dels dos térmens d'error:

$p_i=\frac{{\beta }_0-{\alpha }_0}{{\alpha }_1-{\beta }_1}+\frac{v_i-u_i}{{\alpha }_1-{\beta }_1}\to Cov(p_i,u_i)\ne 0,Cov(p_i,v_i)\ne 0$

Com la correlació entre el regresor i el terme error (en cada una de les equacions) és diferent de zero, el método de mínims quadrats ordinaris (OLS) no pot ser utilisat, puix genera estimadors inconsistentes per a ${\alpha }_1$ i ${\beta }_1$. Per tant, el método de mínims quadrats ordinaris és un cas molt particular de GMM, que ocorre quan no hi ha correlació entre la variable explicativa i el terme d'error.

També el método de variables instrumentals és considerat un atre cas especial de GMM.

Formulació general i hipòtesis

Siga una equació llineal, a ser estimada, en la forma matricial:

$y_i={𝐱}_{𝐢}𝜹+{\epsilon }_i,i=1,2,\mathrm{...},n$

a on ${𝐱}_{𝐢}$ indica un vector L dimensional (indicant L variables explicatives), i ${\epsilon }_i$ indica un terme d'error no observable.

• Siga ${𝐳}_{𝐢}$ un vector d'instruments i ${𝐰}_{𝐢}$ els elements únics i no constants de $(y_i,{𝐱}_{𝐢},{𝐳}_{𝐢})$.

• Siga ${𝐠}_{𝐢}\equiv {𝐳}_{𝐢}\cdot {\epsilon }_i$. Assumim que $E\left({𝐠}_{𝐢}\right)=0$, o siga, els instruments són ortogonals al final d'error.

• Condició de ranc: La matriu de tamany KXL $E\left({𝐳}_{𝐢}{{𝐱}_{𝐢}}^T\right)={𝜮}_{𝒛𝒙}$ és de ranc complet, o siga, el seu ranc és L (número de columnes).

• Condició necessària per a la identificació: el número de variables predeterminades (K) deu ser major o igual a L (número de regresores).

Bibliografia

• Green, William H. Econometric Analysis, (6th ed.) New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2008.
• Fisher, Ronald A. "The Theory of statistical estimation", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, v. 22, p.700-725, 1925.