Matriu de Hilbert

En àlgebra llineal, una Matriu de Hilbert és una matriu quadrada els camps de la qual constituïxen una fracció de l'unitat.

$H_{ij}=\frac{1}{i+j-1},i,j=\mathrm{1...}n$

Per eixemple, esta seria una matriu de Hilbert de 5 × 5:

$M=\left[\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ [4pt]\frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ [4pt]\frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}\\ [4pt]\frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}\\ [4pt]\frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7}& \frac{1}{8}& \frac{1}{9}\end{array}\right].$

La matriu de Hilbert es pot obtindre a partir de l'integral

$H_{ij}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{i+j-2}dx,$

és dir, una Matriu de Gram per a potències de x. Representa l'aproximació de mínims quadrats a funcions arbitràries per polinomis.

Les matrius de Hilbert són eixemples de matrius mal condicionades, lo que les fa notòriament difícil el seu us en càlcul numèric. Per eixemple, el número de condició de la matriu mostrada anteriorment és aproximadament 4.8 · 10⁵.