Matriu estocàstica

Per a una matriu els elements de la qual són estocàstics, vore matriu aleatòria

Definició

En matemàtiques, una matriu estocàstica (també denominada matriu de provabilitat, matriu de transició, matriu de substitució o matriu de Markov) és una matriu utilisada per a descriure les transicions en una cadena de Markov. Ha trobat us en la teoria de la provabilitat, en estadística i en àlgebra llineal, aixina com en informàtica.

En general, una matriu estocàstica es definix com seguix

Diem que una matriu quadrada $A\in {ℝ}^{n\times n}$ donada per

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{31}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

és estocàstica si

1. $a_{ij}\ge 0$
2. $\sum _j{a}_{ij}=1$ per a cada $i$ fix.

L'eixemple més senzill d'una matriu estocàstica és la matriu identitat de tamany $n\times n$

$I=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

puix satisfà les dos condicions.

Matriu Doblement Estocàstica

Una matriu $A\in {ℝ}^{n\times n}$ es diu que és doblement estocàstica si és una matriu estocàstica i ademés $\sum _i{a}_{ij}=1$ per a cada $j$ fix.

Vector Estocàstic

De la mateixa manera, pot definir-se un vector estocàstic com un vector els elements del qual estan formats per número real positius que sumen $1$. Aixina, cada fila (o columna) d'una matriu estocàstica és un vector de provabilitat, també cridats vectores estocàstics.