Mecànica routhiana

En mecànica analítica, una branca de física teòrica, la mecànica routhiana és una formulació híbrida de mecànica lagrangiana i la Mecànica hamiltoniana desenrollada per Edward Routh. De la mateixa manera, el routhiano és la funció que reemplaça a abdós les funcions lagrangianas i hamiltonianas.

El routhiano, com el hamiltoniano, pot ser obtingut a través d'una Transformada de Legendre del lagrangiano, i té per això una forma matemàtica similar al hamiltoniano, pero no exactament igual. La diferència entre el lagrangiano, hamiltoniano, i routhiano són les seues variables. Per a un conjunt donat de Coordenades generalisades representant els graus de llibertat en el sistema, el lagrangiano és una funció de les coordenades i velocitats, mentres el hamiltoniano és una funció de les coordenades i moments.

El routhiano diferix d'estes funcions en que algunes coordenades estan triades per a tindre corresponents velocitats generalisades, el restant per a tindre corresponents moments generalisats. Esta elecció és arbitrària, i pot ser feta per a simplificar el problema. També té la conseqüència de que les equacions de routh són exactament les equacions hamiltonianas per a algunes coordenades i els seus moments corresponents, i les equacions lagrangianas per al restant de les coordenades i les seues velocitats. En este cas les funcions lagrangianas i hamiltonianas estan reemplaçades per una única funció, el routhiano. El conjunt total té aixina les ventages d'abdós conjunts d'equacions, en la comoditat de partir un conjunt de coordenades a les equacions hamiltonianas, i el restant a les equacions lagrangianas.

A sovint l'aproximació routhiana pugues no oferir cap ventaja nova, pero un cas notable a on açò és útil és quàn un sistema té coordenades cíclicas (també cridades "coordenades ignorables"), per definició aquelles coordenades no apareixen en el lagrangiano original. Les equacions lagrangianas són resultats poderosos , utilisades freqüentment en teoria i pràctica, ya que les equacions del moviment són fàcil d'establir en les coordenades. Encara si hi ha coordenades cíclicas encara hi haurà equacions per resoldre per a totes les coordenades, incloent les cíclicas a pesar de la seua absència en el lagrangiano. Les equacions hamiltonianas són resultats teòrics útils , pero menys útils en la pràctica perque les coordenades i els moments estan relacionats junts en les solucions - despuix de solucionar les equacions les coordenades i els moments tenen que ser eliminats un de l'atre. No obstant, les equacions hamiltonianas són perfectament convenients per a coordenades cíclicas perque les equacions en les coordenades cíclicas desapareixen trivialment, deixant només les equacions en les coordenades no cíclicas.

L'aproximació routhiana té lo millor d'abdós aproximacions, perque les coordenades poden ser separades cap a les equacions hamiltonianas i eliminades, deixant darrere les coordenades no cíclicas per a ser solucionades a partir de les equacions lagrangianas. En general menys equacions necessiten ser solucionades comparada en l'aproximació lagrangiana. Ademés, el método routhiano fa més clar les interpretacions físiques de les constants associades en coordenades cíclicas, en l'aproximació lagrangiana les constants són menys òbvies.

En el restant de mecànica analítica, la mecànica routhiana és completament equivalent a la mecànica newtoniana, i a atres formulació de mecànica clàssica, i no introduïx física nova. Oferix una manera alternativa de solucionar problemes mecànics.

Definicions

En el cas de la mecànica de Lagrange, el lagrangiano és funció de les coordenades generalisades $q 1, q 2$ , ... , les corresponents velocitats $dq 1 / dt, dq 2 / dt, ...$ , i possiblement el temps $t$ ,

L = L (q_{1}, q_{2}, \dots, {\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, \dots, t), {\dot{q}}_{i} = \frac{d q_{i}}{d t},

a on els punts per damunt denoten derivades sobre el temps.

En mecànica hamiltoniana, les coordenades generalisades $q 1, q 2, ...$ , els corresponents moments generalisats $p 1, p 2, ...,$ i possiblement el temps, formen al hamiltoniano

H (q_{1}, q_{2}, \dots, p_{1}, p_{2}, \dots, t) = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} p_{i} - L (q_{1}, q_{2}, \dots, {\dot{q}}_{1} (p_{1}), {\dot{q}}_{2} (p_{2}), \dots, t), p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}},

a on la segona equació és la definició del moment generalisat $p i$ de la coordenada $q i$ (les derivades parcials són denotades usant $\partial$ ). Les velocitats $dq i / dt$ són expressades com a funcions dels seus moments corresponents en invertir la relació que les definix (sempre que açò siga possible). En este context, es diu que $p i$ és el moment "canónicamente conjugat" de $q i$ .

El routhiano $R$ és una funció intermija entre $L$ i $H$ ; algunes coordenades $q 1, q 2, ..., q n$ són elegides per a tindre el corresponent moment generalisat $p 1, p 2, ..., p n$ , el restant de les coordenades $ζ 1, ζ 2, ..., ζ s$ per a tindre velocitats generalisades $dζ 1 / dt, dζ 2 / dt, ..., dζ s / dt$ i el temps pot aparéixer explícitament;^[1]^[2]

a on una atra volta la velocitat generalisada $dq i / dt$ és expressada com a funció del moment generalisat $p i$ via la seua relació de definició. L'elecció de cuales $n$ coordenades tindran el corresponent moment, dins de les $n + s$ coordenades, depén de la naturalea del problema a resoldre, i és en el cas general arbitrària.

Lo anterior és utilisat per Landau i Lifshitz, i Goldstein. Alguns autors poden definir el routhiano per a ser el negatiu de la definició anterior.^[3]

Donada la llongitut de la definició general, una notació més compacta utilisa negreta per a n-adas (o vectores) de les variables, aixina $q = (q 1, q 2, ..., q n)$ , $ζ = (ζ 1, ζ 2, ..., ζ s)$ , $p = (p 1, p 2, ..., p n)$ , i $d ζ / dt = (dζ 1 / dt, dζ 2 / dt, ..., dζ s / dt)$ , de manera que

R (𝐪, 𝜻, 𝐩, \dot{𝜻}, t) = 𝐩 \cdot \dot{𝐪} - L (𝐪, 𝜻, \dot{𝐪}, \dot{𝜻}, t),

en a on $\cdot$ denota el producte escalar definit en n-adas, per a l'eixemple concret que apareix ací:

𝐩 \cdot \dot{𝐪} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {\dot{q}}_{i} .

Equacions de moviment

Per a referència, les equacions de Lagrange per a un sistema en $s$ graus de llibertat són un conjunt de $s$ equacions diferencials normals de segon orde acoplades en les coordenades, l'expressió de les quals és

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{j}} = \frac{\partial L}{\partial q_{j}},

a on $j = 1, 2, ..., s$ = 1, $2 n$ , ..., $j = 1, 2, ..., s$ , i les equacions hamiltonianas para $n$ els graus de llibertat són un conjunt de $2 n$ equacions diferencials ordinàries de primer orde acoplades en les coordenades i moments

{\dot{q}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} .

Avall, les equacions de moviment routhianas estan obtingudes en dos maneres. En el procés es troben ademés atres derivades útils que poden ser utilisades en un atre lloc.

Dos graus de llibertat

Considere's el cas d'un sistema en dos graus de llibertat, $q$ i $ζ$ , en velocitats generalisades dq/dt i dζ/dt, i un lagrangiano depenent del temps. (La generalisació a qualsevol número dels graus de llibertat seguix exactament el mateix procediment com en dos).^[2] En este cas el lagrangiano del sistema tindrà la forma

L = L (q, ζ, \dot{q}, \dot{ζ}, t)

El diferencial de L és

d L = \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial ζ} d ζ + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{ζ}} d \dot{ζ} + \frac{\partial L}{\partial t} d t .

Ara canvie les variables, del conjunt (q, ζ, d $q$ /dt, d $ζ$ /dt) a (q, ζ, $p$ , dζ/dt), senzillament canviant la velocitat dq/dt al moment p. Este canvi de variables en els diferencials és la transformació de Legendre. I $L$ diferencial de la funció nova per a reemplaçar $L$ serà una suma de diferencials en $dq$ , $dζ$ , $dp$ , d(dζ/dt), i dt. Utilisant la definició de l'equació de Lagrange i moment generalisats per a la coordenada $q$ :

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}, \dot{p} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}

Tenim

d L = \dot{p} d q + \frac{\partial L}{\partial ζ} d ζ + p d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{ζ}} d \dot{ζ} + \frac{\partial L}{\partial t} d t

I per a reemplaçar pd(dq/dt) per (dq/dt)dp, recordar la regla de producte per a diferencials, i sustuir^{[n. 1]}

p d \dot{q} = d (\dot{q} p) - \dot{q} d p

Per a obtindre el diferencial d'una funció nova en térmens del conjunt nou de variables:

d (L - p \dot{q}) = \dot{p} d q + \frac{\partial L}{\partial ζ} d ζ - \dot{q} d p + \frac{\partial L}{\partial \dot{ζ}} d \dot{ζ} + \frac{\partial L}{\partial t} d t .

Introduint el routhiano

R (q, ζ, p, \dot{ζ}, t) = p \dot{q} (p) - L

a on una atra volta la velocitat dq/dt és una funció del moment $p$ , tenim

d R = - \dot{p} d q - \frac{\partial L}{\partial ζ} d ζ + \dot{q} d p - \frac{\partial L}{\partial \dot{ζ}} d \dot{ζ} - \frac{\partial L}{\partial t} d t,

Pero de la definició anterior, el diferencial del Routhian és

d R = \frac{\partial R}{\partial q} d q + \frac{\partial R}{\partial ζ} d ζ + \frac{\partial R}{\partial p} d p + \frac{\partial R}{\partial \dot{ζ}} d \dot{ζ} + \frac{\partial R}{\partial t} d t .

Comparant els coeficients dels diferencials $dq$ , $dζ$ , $dp$ , d(dζ/ $d (dζ / dt)$ ), i dt, els resultats són equacions de hamilton per a la coordenada q,

\dot{q} = \frac{\partial R}{\partial p}, \dot{p} = - \frac{\partial R}{\partial q},

I l'equació de Lagrange per a la coordenada $ζ$

\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{ζ}} = \frac{\partial R}{\partial ζ}

que seguix de

\frac{\partial L}{\partial ζ} = - \frac{\partial R}{\partial ζ}, \frac{\partial L}{\partial \dot{ζ}} = - \frac{\partial R}{\partial \dot{ζ}},

I prenent la derivada total del temps total de la segona equació i equiparant a la primera. Note's que el routhiano reemplaça les funcions hamiltonianas i lagrangianas en totes les equacions de moviment.

$L$ a equació $R$ estant declara les derivades parcials respecte al temps de L i R són negatives entre sí

\frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial R}{\partial t} .

Qualsevol número de graus de llibertat

Per al cas més general en $n + s$ coordenades generalisades, d'acort a com es va definir abans, el routhiano pren la forma

R (q_{1}, \dots, q_{n}, ζ_{1}, \dots, ζ_{s}, p_{1}, \dots, p_{n}, {\dot{ζ}}_{1}, \dots, {\dot{ζ}}_{s}, t) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {\dot{q}}_{i} (p_{i}) - L

Les equacions de moviment poden ser obtingudes per una transformació de Legendre d'este routhiano com en la secció anterior, pero una atra manera és senzillament prendre les derivades parcials de R sobre les coordenades $q i$ i $ζ j$ , els moments $p i$ , i les velocitats $dζ j / dt$ , a on $i = 1, 2, ..., n$ , i $j = 1, 2, ..., s$ . Les derivades són:

\frac{\partial R}{\partial q_{i}} = - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = - {\dot{p}}_{i}

\frac{\partial R}{\partial p_{i}} = {\dot{q}}_{i}

\frac{\partial R}{\partial ζ_{j}} = - \frac{\partial L}{\partial ζ_{j}},

\frac{\partial R}{\partial {\dot{ζ}}_{j}} = - \frac{\partial L}{\partial {\dot{ζ}}_{j}},

\frac{\partial R}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} .

Les primeres dos són idèntiques a les equacions hamiltonianas. Equiparant la derivada total sobre el temps del quarto conjunt d'equacions en el tercer (per a cada valor de $j$ ) dona les equacions lagrangianas. El quint és just la mateixa relació entre derivades parcials del temps d'abans. En resum, es té que les equacions de moviment en este formalisme són de la forma^[1]

El número total d'equacions és $2 n + s$ , a on $2 n$ són equacions hamiltonianas i $s$ equacions langrarianas.

Notes

↑ ^1,0 ^1,1 Goldstien, 1980, p. 352
↑ ^2,0 ^2,1 Landau y Lifshitz, 1976, p. 134
↑ Hand y Finch, 2008, p. 23

Referències

Bibliografia

(1976) Mechanics, 3ª edició (en anglés), Butterworth Heinemann, p. 134. ISBN 9780750628969.
(2008) Analytical Mechanics, 2nd edició (en anglés), Cambridge University Press, p. 23. ISBN 9780521575720.

(2004) Classical Mechanics, 5ª edició (en anglés), Imperial College Press, p. 236. ISBN 9781860944352.
(1980) Classical Mechanics, 2ª edició (en anglés), Sant Francisco, CA: Addison Wesley, pp. 352–353. ISBN 0201029189.
(2002) Classical Mechanics, 3ª edició (en anglés), Sant Francisco, CA: Addison Wesley, pp. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Mecánica routhiana» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "n.", pero no es trobà una etiqueta <references group="n."/>

[Goldstien_1-1] 1,0 ^1,1 Goldstien, 1980, p. 352

[Landau_1-2] 2,0 ^2,1 Landau y Lifshitz, 1976, p. 134

[3] Hand y Finch, 2008, p. 23

[1]

[2]

[3]

[n. 1]