Mida de Mahler

En matemàtiques, la mida de Mahler $M(p)$ d'un polinomi p és

$M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }||p|{|}_{\tau }=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i\theta })|)d\theta ).$

Ací es presupon que p pren valors complexos i

$||p|{|}_{\tau }={\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta \right)}^{1/\tau }$

és la norma L_τ de p (encara que esta no és una autèntica norma per a τ < 1).

Es pot mostrar que si

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$

llavors

$M(p)=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|.$

La mida de Mahler d'un número algebraico α es definix com la mida de Mahler del polinomi mínim de α sobre Q.

La mida es diu aixina en honor a Kurt Mahler.

Propietats

• La mida de Mahler és multiplicativa, és dir, M(pq) = M(p)M(q).

Referències

• Peter Borwein (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory, Springer-Verlag, pp. 3, 15. ISBN 0-387-95444-9.
• J.L. Jensen(1899).22

359–364.doi:10.1007/BF02417878.

• M.J. Mossinghoff(1998).67

1697–1705 and S11–S14.doi:10.1090/S0025-5718-98-01006-0.