Model d'Einstein

El model d'Einstein o sòlit d'Einstein és un model de substància sòlida basat en dos suposicions:

• Cada àtom en la ret és un oscilador harmònic quàntic tridimensional independent.
• Tots els àtoms oscilen en la mateixa freqüència (a diferència del model de Debye).

Mentres que la suposició de que en un sòlit les oscilacions són independents és molt exacta, estes oscilacions són ones sónicas o fonones, modos colectius que involucren molts àtoms. En el model d'Einstein, cada àtom oscila en forma independent. Einstein era conscient de la dificultat en calcular la freqüència de les oscilacions, no obstant va propondre la seua teoria perque era una demostració clara que la mecànica quàntica podia resoldre el problema del calor específica en la mecànica clàssica.

Impacte històric

La teoria original que Albert Einstein va propondre en 1907 posseïx una gran rellevància històrica. La mecànica clàssica donava una explicació per a la capacitat calorífica dels sòlits tal com la predia la llei empírica de Dulong i Petit, que justificava que la calor específica dels sòlits fora independent de la temperatura. No obstant els experiments a baixes temperatures mostraven que la capacitat calorífica variava, tendint a zero per a una temperatura igual al zero absolut. Per a temperatures majors, la calor específica aumenta fins que s'aproxima a temperatures elevades en les prediccions de Dulong i Petit.

En utilisar la suposició de cuantización de Planck, la teoria d'Einstein era consistent per primera volta en les tendències observades en els experiments. Junt en l'efecte fotoeléctrico, es va convertir en una de les més importants evidències de la necessitat de la cuantización. Einstein va utilisar els nivells de l'oscilador mecànic quàntic molts anys abans que es desenrollara la mecànica quàntica moderna.

En el model d'Einstein, la calor específica tendix a zero en forma exponencial a baixes temperatures. Açò es deu a que totes les oscilacions tenen una freqüència comuna. El comportament correcte s'obté cuantizando els modos normals del sòlit tal com Einstein va sugerir. Llavors resulta que les freqüències de les ones no són totes iguals, i la calor específica tendix a zero en la dependència $T^3$, que ajusta en els resultats dels experiments. Esta modificació és denominada el model de Debye, que va ser publicat en 1912.

Capacitat calorífica (ensamble microcanónico)

Representació de la capacitat calorífica adimensional dividida per tres, en funció de la temperatura, segons el model de Debye i el primer model d'Einstein. L'eix d'ordenades correspon en la temperatura dividida per la temperatura de Debye. Note's que la capacitat calorífica adimensional és zero en el zero absolut de temperatura i aumenta fins al valor 3 quan la temperatura aumenta molt per damunt de la temperatura de Debye. La llínea roja representa el llímit clàssic dau per la llei de Dulong-Petit.

La capacitat calorífica d'un objecte a volum constant V queda definit per la seua energia interna O com

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V.$

$T$, la temperatura del sistema, s'obté a partir de l'entropía

$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}.$

Per a obtindre la entropía, analisem el cas d'un sòlit constituït per $N$ àtoms, cada u dels quals té 3 graus de llibertat. Per lo tant hi ha $3N$ osciladors quàntics harmònics (en lo sucesivo abreviats OAS per osciladors harmònics simples).

$N^{\prime }=3N$

Les energies possibles d'un OAS queden expressades per

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$

en atres paraules, els nivells d'energia es troben equiespaciados i es pot definir un quàntum d'energia

$\epsilon =\hslash \omega$

que és la cantitat més chicoteta i única per mig de la qual es pot aumentar l'energia d'un OAS. A continuació es deu calcular la multiplicitat del sistema. Això és el número de formes en que es poden distribuir $q$ quantos d'energia entre $N^{\prime }$ OASs. Esta tasca se simplifica si un imagina la distribució de $q$ bolillas en $N^{\prime }$ caixes

o separant files de bolillas en $N^{\prime }-1$ particions

o ordenant les $q$ bolillas i les $N^{\prime }-1$ particions

Esta última figura és la més interessant. El número de configuracions de $n$ objectes és $n!$. Per lo tant el número de configuracions possibles de $q$ bolillas i $N^{\prime }-1$ particions és $(q+N^{\prime }-1)!$. No obstant, si les particions #2 i #5 s'intercanvien, un no ho percebria. La mateixa consideració és vàlida per als quantos. Per a obtindre el número de configuracions distinguibles possibles es deu dividir el número total de configuracions pel número de configuracions indistinguibles. Hi ha $q!$ configuracions idèntiques de quantos, i $(N^{\prime }-1)!$ configuracions idèntiques de particions. Per lo tant, la multiplicitat del sistema és

$\Omega =\frac{(q+N^{\prime }-1)!}{q!(N^{\prime }-1)!}$

La qual cosa tal com es va indicar prèviament, és el número de formes en que es poden depositar $q$ quantos d'energia en $N^{\prime }-1$ osciladors. l'entropía del sistema té la forma

$S/k=\ln \Omega =\ln \frac{(q+N^{\prime }-1)!}{q!(N^{\prime }-1)!}.$

$N^{\prime }$ és un número molt gran—per lo tant restar-li un no té cap efecte significatiu:

$S/k\approx \ln \frac{(q+N^{\prime })!}{q!N^{\prime }!}$

És possible simplificar la entropía en ajuda de l'aproximació de Stirling:

$S/k\approx (q+N^{\prime })\ln (q+N^{\prime })-N^{\prime }\ln N^{\prime }-q\ln q.$

L'energia total d'un sòlit queda expressada com

$U=\frac{N^{\prime }\epsilon }{2}+q\epsilon ,$

ya que hi ha en total q quantos d'energia en el sistema ademés de l'estat d'energia base de cada oscilador. Alguns autors, com per eixemple Schroeder, ometen este estat base d'energia en la seua definició de l'energia total d'un sòlit d'Einstein.

Es procedix ara a calcular la temperatura

$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}=\frac{\partial S}{\partial q}\frac{dq}{dU}=\frac{1}{\epsilon }\frac{\partial S}{\partial q}=\frac{k}{\epsilon }\ln (1+N^{\prime }/q)$

L'eliminació de q entre les dos fòrmules precedents permire rebujar O:

$U=\frac{N^{\prime }\epsilon }{2}+\frac{N^{\prime }\epsilon }{e^{\epsilon /kT}-1}.$

El primer terme està associat en l'energia en el punt zero i no contribuïx a la calor específica. Per lo tant desapareix en el pas següent.

Diferenciant sobre la temperatura per a obtindre $C_V$ s'obté:

$C_V=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{N^{\prime }{\epsilon }^2}{k{T}^2}\frac{e^{\epsilon /kT}}{{(e^{\epsilon /kT}-1)}^2}$

o

$C_V=3Nk{\left(\frac{\epsilon }{kT}\right)}^2\frac{e^{\epsilon /kT}}{{(e^{\epsilon /kT}-1)}^2}.$

Si ben el model de sòlit d'Einstein prediu correctament les calors específiques a temperatures altes, es desvia de manera apreciable en les seues prediccions con respecto de les senyes experimentals en el ranc de baixes temperatures. Vore el model de Debye per a calcular en precisió les calors específiques a baixes temperatures.