Nímero

En matemàtiques, els nímeros o nimbers, també cridats números de Grundy, s'introduïxen en la teoria de jocs combinatoris, a on es definixen com els valors de montons en el joc de Nim. Els nímeros són els números ordinals dotats d'una suma i multiplicació nim, que són distints de la suma i la multiplicació d'ordinals.

Com a conseqüència del teorema de Sprague-Grundy, el qual establix que tot joc imparcial és equivalent a un montó de Nim de cert tamany, els nímeros sorgixen en una classe molt major de jocs imparcials. També poden ocórrer en jocs partisanos com Domineering.

Els nímeros tenen la característica de que les seues opcions esquerres i dretes són idèntiques, seguint un cert esquema, i que són els seus propis negatius, de modo que un ordinal positiu pot agregar-se a un atre ordinal positiu usant la suma nim per a trobar un ordinal de valor menor. L'operació d'exclusió mínima s'aplica a conjunts de nímeros.

Usos

Nim

Artícul principal → Nim (joc).

Nim és un joc en el qual dos jugadors es turnan per a llevar objectes de distints montons. Com els moviments depenen solament de la posició i no de quin dels dos jugadors s'està movent actualment, i a on els pagaments són simètrics, Nim és un joc imparcial. En cada tanda, un jugador deu eliminar a lo manco un objecte i pot eliminar qualsevol número d'objectes sempre que tots provinguen del mateix montó. L'objectiu del joc és ser el jugador que retire l'últim objecte. Usant la suma nim, cada montó es pot sumar per a donar un valor nim per al montó. Ademés, com tots els montons junts es poden sumar usant la suma nim, es pot calcular el nímero del joc com un tot. L'estratègia guanyadora d'este joc és forçar el nímero acumulatiu del joc a 0 per a la tanda de l'oponent.

Cram

Artícul principal → Cram.

Cram és un joc que a sovint es juga en un tauler rectangular en el que els jugadors es turnan per a colocar dominós horisontal o verticalment fins que no es puguen colocar més dominós. El primer jugador que no puga fer un moviment, pert. Com els moviments possibles per a abdós jugadors són els mateixos, és un joc imparcial i pot tindre un valor àgil. Si cada fila i columna es considera un montó, llavors el valor del joc és la suma de totes les files i columnes usant una suma àgil. Per eixemple, qualsevol tauler 2xn tindrà un nímero de 0 per a tots els n pares i un nímero d'1 per a tots els n impars.

Joc de Northcott

Un joc a on es coloquen clavilles per a cada jugador a lo llarc d'una columna en un número finito d'espais. Cada tanda, cada jugador deu moure la peça cap a dalt o cap a avall en la columna, pero no pot passar la peça de l'atre jugador. Vàries columnes s'apilen juntes per a agregar complexitat. El jugador que ya no pot fer cap moviment pert. A diferència de molts atres jocs relacionats en nímero, la cantitat d'espais entre les dos fiches en cada fila són els tamanys dels montons de Nim. Si el teu oponent aumenta el número d'espais entre dos fiches, simplement reduïx-ho en el teu pròxim moviment. De lo contrari, juga el joc de Nim i fes que la suma de Nim del número d'espais entre les fiches en cada fila siga 0.

Hackenbush

Artícul principal → Hackenbush.

Hackenbush és un joc inventat pel matemàtic John Horton Conway. Es pot reproduir en qualsevol configuració de segments de llínea de colors conectats entre sí pels seus punts finals i a una llínea de "terra". els jugadors es turnan per a eliminar segments de llínea. Es pot trobar una versió de joc imparcial, per lo que es pot trobar un joc que es puga analisar usant nímeros eliminant la distinció de les llínees, lo que permet a qualsevol jugador tallar qualsevol branca. També s'eliminen tots els segments que depenen del segment recent eliminat per a conectar-se a la llínea de terra. D'esta manera, cada conexió a terra pot considerar-se un montó de nim en un valor nímero. Ademés, totes les conexions separades a la llínea de terra també es poden sumar per a una miqueta de l'estat del joc.

Suma

La suma nim s'utilisa per a calcular el tamany del montó de nim únic equivalent a una colecció de montons de nim. Es definix de forma recursiva per mig de

α ⊕ β = mex(Plantilla:Mset ∪ Plantilla:Mset),

a on l'exclusió mínima mex(S) d'un conjunt S es definix d'ordinals ser l'ordinal més chicotet que és no un element de S.

Per als ordinals finitos, la suma nim s'evalua fàcilment en una computadora prenent el bit a bit exclusiu o (XOR, denotat per ⊕) dels números corresponents. Per eixemple, la suma nim de 7 i 14 es pot trobar escrivint 7 com 111 i 14 com 1110; el lloc de les unitats se sumixca a 1; el lloc de dos se sumixca a 2, que reemplacem en 0; el lloc de quatre se sumixca a 2, que reemplacem en 0; el lloc dels ochos se sumixca a 1. Llavors, la suma nim s'escriu en binario com 1001, o en decimal com 9.

Esta propietat de la suma es deriva del fet de que tant mex com XOR produïxen una estratègia guanyadora per a Nim i solament pot haver una d'eixes estratègies; o pot mostrar-se directament per inducció: Sean α i β dos ordinals finitos, i suponga que la suma nim de tots els parells en un d'ells reduït ya està definida. L'únic número que el seu XOR en α ⊕ β és β, i viceversa; per tant, α ⊕ β s'exclou. Per un atre costat, per a qualsevol ordinal γ < α ⊕ β, l'operació XOR ξ ≔ α ⊕ β ⊕ γ en tot α, β i γ deu conduir a una reducció per a un d'ells (ya que l'1 inicial en ξ deu estar present en a lo manco un dels tres); ya que ξ ⊕ γ = α ⊕ β > γ, devem tindre α > ξ ⊕ α = β ⊕ γ o β > ξ ⊕ β = α ⊕ γ; per lo tant γ s'inclou com (β ⊕ γ) ⊕ β o com α ⊕ (α ⊕ γ), i per tant α ⊕ β és l'ordinal exclós mínim.

Multiplicació

La multiplicació nim es definix de forma recursiva per mig de

α β = mex(Plantilla:Mset).

Llevat pel fet de que els nímeros formen una classe pròpia i no un conjunt, la classe de nímeros determina un camp algebraicamente tancat de característica 2. L'identitat aditiva nímero és l'ordinal 0, i l'identitat nímero multiplicativa és l'ordinal 1. D'acort en sent la característica 2, el nímero aditiu invers de l'ordinal α és α mateix. L'invers multiplicativo nímero de l'ordinal α distint de zero està donat per 1/α = mex(S), a on S és el conjunt més chicotet d'ordinals (nímeros) tal que

1. 0 és un element de S;
2. si 0 < α′ < α i β′ és un element de S, llavors [1 + (α′ − α) β′] / α′ és també un element de S.

Per a tots els número natural n , el conjunt de nímeros menors que 2²ⁿ formen el camp de Galois GF(2²ⁿ) d'orde 2²ⁿ.

En particular, açò implica que el conjunt de nímeros finitos és isomorfo al llímit directe quan n → ∞ dels camps GF(2²ⁿ). Este subcampo no està algebraicamente tancat, ya que cap atre camp GF(2^k) (per lo que en k no és una potència de 2) està contingut en cap d'eixos camps, i per lo tant no en el seu llímit directe; per eixemple, el polinomi x³ + x + 1, que té una raïl en GF(2³), no té una raïl en el conjunt de nímeros finitos.

De la mateixa manera que en el cas de la suma nim, existix un algoritme per a calcular el producte nímero dels ordinals finitos. Açò està determinat per les regles que

1. El producte nímero d'una potència de Fermat 2 (números de la forma 2²ⁿ) en un número menor és igual al seu producte ordinari;
2. El quadrat nímero d'un Fermat de 2 potencies x és igual a 3x/2 com s'evalua baix la multiplicació ordinària d'número natural.

El camp de nímeros algebraicamente tancat més chicotet és el conjunt de nímeros menor que l'ordinal ω^ωω, a on ω és l'ordinal infinit més menut. D'això es deduïx que, com nímero, ω^ωω és transcendent sobre el camp.

Vore també

• Números surreales