Número poderós

Archiu:Powerful number Cuisenaire rods 9.png

Demostració, usant regletas de Cuisenaire, de la naturalea potent d'1, 4, 8, i 9

Un número poderós és un número natural m tal que per cada número primo p que dividix a m, p² també dividix a m. De manera equivalent, un número poderós és el producte d'un quadrat i d'un gaveta, és dir, un número m de la forma m = a²b³, a on a i b són número entero positius. Els números poderosos també es coneixen com a quadrats complets o 2-complets. Paul Erdős i George Szekeres varen estudiar tals números i Solomon W. Golomb els va cridar poderosos.

La següent és una llista de tots els números poderosos entre 1 i 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243 , 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900 , 961, 968, 972, 1000, ... Plantilla:OEIS.

Equivalència de les dos definicions

Si m = a²b³, llavors tot primer en la factorización de a apareix en la descomposició en factors primers de m en un exponent d'a lo manco dos , i tot primer en la descomposició en factors primers de b apareix en la descomposició en factors primers de m en un exponent d'a lo manco tres; per lo tant, m és poderós.

En l'atra direcció, suponga's que m és poderós, en descomposició en factors primers

$m=\prod p_i^{{\alpha }_i},$

a on cada α_i ≥ 2. Definixca's γ_i com tres si α_i és impar, i zero en cas contrari, i définase β_i = α_i − γ' 'i. Llavors, tots els valors βi són sancers parells no negatius, i tots els valors γ_i són zero o tres, i llavors

$m=(\prod p_i^{{\beta }_i})(\prod p_i^{{\gamma }_i})={(\prod p_i^{{\beta }_i/2})}^2{(\prod p_i^{{\gamma }_i/3})}^3$

proporciona la representació desijada de m com a producte d'un quadrat i d'una gaveta.

Informalment, donada la descomposició en factors primers de m, basta prendre b com el producte dels factors primers de m que tenen un exponent impar (si no hi ha cap, llavors prendre b com 1). Degut a que m és poderós, cada factor primer en un exponent impar té un exponent que és a lo manco 3, per lo que m/b³ és un número entero. Ademés, cada factor primer de m/b³ té un exponent parell, per lo que m/b³ és un quadrat perfecte, i per lo tant es pot denominar a². Llavors, m = a²b³. Per eixemple:

$m=21600=2^5\times 3^3\times 5^2,$

$b=2\times 3=6,$

$a=\sqrt{\frac{m}{b^3}}=\sqrt{2^2\times 5^2}=10,$

$m=a^2{b}^3=10^2\times 6^3.$

La representació m = a²b³ calculada d'esta manera té la propietat de que b és lliure de quadrats, i està definit de manera única per esta propietat.

Propietats matemàtiques

La suma dels recíprocs dels números poderosos convergix. El valor d'esta suma es pot escriure de vàries atres formes, inclús com el producte infinit

$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)=\mathrm{1.9435964368...},$

a on p es troba representa la seqüència de tots els número primo, ζ(s) denota la funció zeta de Riemann i ζ(3) és la constant de Apéry. Plantilla:OEIS De manera més general, la suma dels recíprocs de les 's'-ésimas potències dels números poderosos (una funció generadora de la série de Dirichlet) és igual a

$\frac{\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}$

cada volta que convergix.

Siga k(x) el número de números poderosos en l'interval [1,x]. Llavors k(x) és proporcional a la raïl quadrada de x. Més precisament,

$c{x}^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x)\le c{x}^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\dots$

(Golombo, 1970).

Els dos números poderosos consecutius més menuts són 8 i 9. Ya que l'equació de Pell x² − 8i²= 1 té infinites solucions sanceres, hi ha infinits parells de números poderosos consecutius (Golomb, 1970); de manera més general, es poden trobar números poderosos consecutius resolent l'equació de Pell similar x² − ny²= ±1 per a qualsevol gaveta n. No obstant, un dels dos números poderosos en un parell format d'esta manera deu ser un quadrat. Segons Guy, Erdős es va preguntar si hi ha infinits parells de números poderosos consecutius com (23³, 2³3²13²) en els que cap dels números del parell és un quadrat.Walker (1976) de va mostrar que, de fet, hi ha infinits parells d'este tipo en comprovar que 3³c² + 1= 7³d² té infinites solucions.

Les solucions de Walker per a esta equació es generen, per a qualsevol número entero impar k, considerant el número

$(2\sqrt{7}+3\sqrt{3}{)}^{7k}=a\sqrt{7}+b\sqrt{3},$

per als número entero a divisible per 7 i b divisible per 3, i construint a partir de a i b els números poderosos consecutius 7a² i 3b² en 7a²= 1 + 3b².

El parell consecutiu més chicotet d'esta família es genera per a k= 1, a= 2637362 i b= 4028637 com

$7\cdot 2637362^2=2^2\cdot 7^3\cdot 13^2\cdot 43^2\cdot 337^2=48689748233308$

i

$3\cdot 4028637^2=3^3\cdot 139^2\cdot 9661^2=48689748233307.$

És una conjectura de Erdős, Mollin i Walsh que no hi ha tres números poderosos consecutius. Si existix un triplet de números poderosos consecutius, llavors deu tindre la forma (36k + 7, 36k + 8, 36k + 9), (36k + 27, 36k + 28, 36k + 29), o (36k - 1, 36k, 36k + 1), quan k és un número entero positiu.

Sumes i diferències de números poderosos

Archiu:Difference of consecutive squares.svg

Prova visual de que les diferències de quadrats consecutius són número impar consecutius

Qualsevol número impar és una diferència de dos quadrats consecutius: (k + 1)² = k² + 2k + 1, llavors (k + 1)²  − k² = 2k + 1. De manera similar, qualsevol múltiple de quatre és una diferència dels quadrats de dos números que diferixen en dos: (k + 2)² − k² = 4k + 4. No obstant, un número simplement parell, és dir, un número divisible per dos pero no per quatre, no es pot expressar com una diferència de quadrats. Açò motiva la qüestió de determinar qué número par individuals poden expressar-se com a diferències de números poderosos. Golomb va publicar algunes representacions d'este tipo:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3⁵ − 15².

S'hi havia conjeturado que el 6 no es pot representar aixina, i Golomb conjeturó que hi ha infinits número entero que no es poden representar com una diferència entre dos números poderosos. No obstant, Narkiewicz va demostrar que el 6 pot representar-se d'infinites maneres, com

6 = 5⁴7³ − 463²,

i McDaniel va demostrar que tot número entero té infinites representacions d'este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que tot número suficientment gran és una suma de, com a màxim, tres números poderosos; açò va ser provat per Roger Heath-Brown (1987).

Generalisació

De forma més general, es poden considerar els número entero els factors primers dels quals tenen exponents a lo manco k. Un sancer d'este tipo es denomina número k-poderós o número k-complet.

(2^k+1 − 1)^k,  2^k(2^k+1 − 1)^k,   (2^k+1 − 1)^k+1

són números k-poderosos en una progressió aritmètica. Ademés, si a₁, a₂, ..., a_s són k-poderosos en una progressió aritmètica en diferència comuna d, llavors

a₁(a_s + d)^k,  

a₂(a_s + d)^k, ..., a_s(a_s + d' ')k, (as + d)k+1

són s + 1 números k-poderosos en una progressió aritmètica.

Es té una identitat que involucra números k-poderosos:

a^k(a^l + ... + 1)^k + a^{k + 1}(a^l + ... + 1)^k + ... + ' 'ak + l(al + ... + 1)k = ak(al + ... +1)k+1.

Açò dona infinites tuplas l+1 de números k-poderosos que la seua suma també és k-poderosa. Nitaj mostra que hi ha infinites solucions de x+i=z en números relativament primers de 3 potències (Nitaj, 1995). Cohn construïx una família infinita de solucions de x+i=z en números 3-poderosos cosins entre sí no cúbics de la següent manera: el triplet

X = 9712247684771506604963490444281, I = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

és una solució de l'equació 32X³ + 49I³ = 81Z³. Es pot construir una atra solució configurant X′ = X(49I³ + 81Z³), I′ = −I(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49I³) i ometent el divisor comú.

Vore també

• Número de Aquiles
• Número altament poderós

Bibliografia

• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, New York etc.: John Wiley & Sons, pp. 33–34,407–413. ISBN 978-0-471-80634-9.