Número primo permutable

Un número primo permutable, també conegut com a primer anagramático, és un número primo que, en una base donada, pot canviar les posicions dels seus dígits a través de qualsevol permutació i seguir sent un número primo. H. E. Richert, qui possiblement va ser el primer en estudiar estos cosins, els va cridar primers permutables, pero després també se'ls va cridar cosins absoluts.

Eixemples

En base 10 es coneixen tots els primers permutables de menys de 49.081 dígits

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R₁₉ (1111111111111111111), R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, ... (seqüència A003459 en la OEIS)

Dels anteriors, hi ha 16 conjunts de permutació únics, en elements més menuts

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, ... (seqüència A258706 en la OEIS)

Note's que R_n = $\frac{10^n-1}{9}$ és un repituno, un número que consta solament de n uns (en base 10). Qualsevol primer repituno és un primer permutable en la definició anterior, pero algunes definicions requerixen a lo manco dos dígits distints.

Propietats

Tots els primers permutables de dos o més dígits es componen dels dígits 1, 3, 7, 9, perque cap número primo llevat el 2 és parell, i cap número primo ademés del 5 és divisible per 5. Es prova que no existix cap primer permutable que continga tres dígits diferents dels quatre 1, 3, 7, 9, aixina com que no existix cap cosí permutable compost per dos o més de cada u dels dos dígits seleccionats d'1, 3, 7, 9.

No hi ha cap primer permutable de n dígits per a 3 < n < 6·10¹⁷⁵ que no siga un repituno. Es conjectura que no hi ha primers permutables que no siguen repitunos distints dels díhuit enumerats anteriorment. Es poden dividir en sèt conjunts de permutació:

{13, 31}, {17, 71}, {37, 73}, {79, 97}, {113, 131, 311}, {199, 919, 991}, {337, 373, 733}.

En base 2, solament els repitunos poden ser primers permutables, perque qualsevol 0 permutat al lloc de les unitats dona com resultat un número par. Per tant, els primers permutables de base 2 són els primers de Mersenne. Es pot fer en seguritat la generalisació de que para qualsevol sistema numèric posicional, els número primo permutables en més d'un dígit solament poden tindre dígits coprimos en la raïl del sistema numèric. Els número primo d'un dígit, és dir, qualsevol número primo per baix de la base, sempre són trivialmente permutables.

En base 12, es coneixen els elements més menuts dels conjunts únics de permutació dels primers permutables en menys de 9739 dígits (usant dos i tres invertits per a dèu i onze, respectivament)

2, 3, 5, 7, Ɛ, R ₂, 15, 57, 5Ɛ, R ₃, 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R ₅, R ₁₇, R ₈₁, R ₉₁, R ₂₂₅, R ₂₅₅, R _4ᘔ5, . . .

No hi ha cap primer permutable de n dígits en base 12 per a 4 < n < 12¹⁴⁴ que no siga un repituno. Es conjectura que no hi ha primers permutables no repitunos en base 12 distints dels enumerats anteriorment.

En base 10 i base 12, tot primer permutable és un repituno o un cuasi-repidígito, és dir, és una permutació del sancer P(b, n, x, i) = xxxx ... xxxy _b (n dígits, en base b ) a on x i i són dígits coprimos de b. Ademés, x i i també deuen ser coprimos (ya que si hi ha un primer p que dividira tant a x com a i, llavors p també dividiria al número), llavors si x = i, es complix que x = i = 1 (açò no és cert en totes les bases, pero les excepcions són rares i podrien ser finitas en qualsevol base donada; les úniques excepcions per baix de 10⁹ en bases fins a 20 són: 139₁₁, 36A₁₁, 247₁₃, 78A₁₃, 29I₁₉ (M. Fiorentini, 2015)).

Siga P(b, n, x, i) un primer permutable en base b i siga p un cosí tal que n ≥ p. Si b és una raïl primitiva de p, i p no dividix a x o a |x - i|, llavors n és un múltiple de p - 1 (ya que b és una raïl primitiva mod p i p no dividix a |x - i|, els p números xxxx ... xxxy, xxxx ... xxyx, xxxx ... xyxx, ..., xxxx ... xyxx ... xxxx (solament el dígit b ^{p −2} és i, els demés sò tots x), xxxx ... yxxx ... xxxx (solament el dígit b ^{p −1} és i, els demés sò tots x), xxxx .. xxxx (el repdígito en n xs) mod p són tots diferents. És dir, un és 0, un atre és 1, un atre és 2, ..., l'atre és p − 1. Per lo tant, ya que els primers p − 1 números són tots primers, l'últim número (el dígit repetit en n xs) deu ser divisible per p. Ya que p no dividix a x, llavors p deu dividir la repunidad en n 1s. Com a b és una raïl primitiva mod p, l'orde multiplicativo de n mod p és p − 1. Per lo tant, n deu ser divisible per p − 1).

En conseqüència, si b = 10, els dígits coprimos de 10 són {1, 3, 7, 9}. Ya que 10 és una raïl primitiva mod 7, si n ≥ 7, llavors 7 dividix a x (en este cas, x = 7, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o | x − i | (en este cas, x = i = 1, ya que x, i ∈ {1, 3, 7, 9}. És dir, el cosí és un repituno) o n és un múltiple de 7 − 1 = 6. De manera similar, ya que 10 és una raïl primitiva mod 17, si n ≥ 17, llavors 17 dividix a x (no és possible, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o | x − i | (en este cas, x = i = 1, ya que x, i ∈ {1, 3, 7, 9}. És dir, el cosí és un repituno) o n és un múltiple de 17 − 1 = 16. Ademés, 10 també és una raïl primitiva mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., per lo que n ≥ 17 és totalment impossible (ya que para açò primers p, si n ≥ p, llavors n és divisible per p − 1), i si 7 ≤ n < 17, llavors x = 7, o n és divisible per 6 (l'únic n possible és 12). Si b = 12, els dígits coprimos de 12 són {1, 5, 7, 11}. Ya que 12 és una raïl primitiva mod 5, si n ≥ 5, llavors 5 dividix a x (en este cas, x = 5, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o |x − i| (en este cas, x = i = 1 (és dir, l'número primo és una repetició) o x = 1, i = 11 o x = 11, i = 1, ya que x, i ∈ {1, 5, 7, 11}) o n és un múltiple de 5 − 1 = 4. De manera similar, ya que 12 és una raïl primitiva mod 7, si n ≥ 7, llavors 7 dividix a x (en este cas, x = 7, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o |x − i| (en este cas, x = i = 1, ya que x, i ∈ {1, 5, 7, 11}. És dir, el cosí és un repituno) o n és un múltiple de 7 − 1 = 6. De manera similar, ya que 12 és una raïl primitiva mod 17, si n ≥ 17, llavors 17 dividix a x (no és possible, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x − i | (en este cas, x = i = 1, ya que x, i ∈ {1, 5, 7, 11}. És dir, el cosí és un repituno) o n és un múltiple de 17 − 1 = 16. Ademés, 12 també és una raïl primitiva mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, ..., per lo que n ≥ 17 és totalment impossible (ya que para açò primers p, si n ≥ p, llavors n és divisible per p − 1), i si 7 ≤ n < 17, llavors x = 7 (en este cas, ya que 5 no dividix x o x − i, llavors n deu ser divisible per 4) o n és divisible per 6 (l'únic n possible és 12).