Polinomi matricial

En matemàtiques, un polinomi matricial és un polinomi en matrius quadrades com les seues variables. Donat polinomi normal i cualuado en escalares

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n,$

este polinomi evaluat en la matriu A és

$P(A)=\sum _{i=0}^n{a}_i{A}^i=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n,$

a on $I$ és la matriu d'identitat .

Una equació polinòmica matricial és una igualtat entre dos polinomis matriciales, el qual complix per a les matrius concretes en qüestió. Una identitat polinòmica matricial és una equació polinòmica matricial que complix per a totes les matrius A en cert anelle matricial especificat M_n(R).

Polinomi característic i polinomi mínim

El polinomi característic d'una matriu A és un polinomi valuado en escalares, definit per $p_A(t)=\det (tI-A)$. El teorema de Cayley–Hamilton declara que si este polinomi està vist com a polinomi matricial i evaluat en la matriu A, el resultat és la matriu zero : $p_A(A)=0$. El polinomi característic és llavors un polinòmic que aniquila a A.

Existix un únic polinomi mónico de grau mínim qué aniquila a A; este polinomi de flama el polinomi mínim. Qualsevol polinomi que aniquila a A (per eixemple, el polinomi característic) és múltiple del polinomi mínim.

Seguix que daus dos polinomios P i Q, tenim que $P(A)=Q(A)$ si i només si

$P^{(j)}({\lambda }_i)=Q^{(j)}({\lambda }_i)\text{para toda }j\in \{0,\dots ,n_i-1\}\text{ e }i\in \{1,\dots ,s\},$

a on $P^{(j)}$ denota la derivada j-ésima de P i ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$ són els eigenvalores d'en índexs corresponents $n_1,\dots ,n_s$ (l'índex d'un eigenvalor és la mida de la seua bloc de Jordan més gran).

Série geomètrica matricial

Els polinomis matriciales poden ser usats per a sumar una série geomètrica matricial com un ho faria en una série geomètrica usual,

$S=I+A+A^2+\cdots +A^n$

$AS=A+A^2+A^3+\cdots +A^{n+1}$

$(I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}$

$S=(I-A{)}^{-1}(I-A^{n+1})$

Si $I-A$ no és singular, un pot evaluar l'expressió per a la suma S.

Vore també

• Teorema de Latimer–MacDuffee
• Exponencial Matricial
• Funció matricial

Referències

• Gohberg; Lancaster, Peter; Rodman, {{{nom3}}} (2009). Matrix Polynomials, Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-898716-81-8.
• Higham, Nicholas J. (2000). Functions of Matrius: Theory and Computation, SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Horn, Roger A.; Johnson, {{{nom2}}} (1990). Matrix Analysis, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6..