Polinomis de Hermite

Els polinomis de Hermite són un eixemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal àmbit d'aplicacions en mecànica quàntica, sobretot en l'estudi del oscilador harmònic unidimensional. Són nomenats aixina en honor de Charles Hermite.

Els cinc primers polinomis de Hermite (provabilístics').

Definició

Els polinomis de Hermite es definixen com:

H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2} / 2} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- x^{2} / 2}

(els "polinomis de Hermite provabilístics") o, a voltes, com (els "polinomis de Hermite físics"):

H_{n}^{p h y s} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- x^{2}}

Estes dos definicions no són exactament equivalents; una és un reescalado trivial de l'atra:

H_{n}^{p h y s} (x) = 2^{n / 2} H_{n}^{p r o b} (\sqrt{2} x)

.

Els polinomis físics poden expressar-se com:

H_{n}^{p h y s} (x) = (2 x)^{n} - \frac{n (n - 1)}{1!} (2 x)^{n - 2} + \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{2!} (2 x)^{n - 4} - \dots

$H_{n}$ és un polinomi de grau n, en n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomis són ortogonals con respecto de la funció pese (medida)

e^{- x^{2} / 2}

(provabiliste)

o

e^{- x^{2}}

(física)

és dir

\int_{- \infty}^{\infty} H_{n} (x) H_{m} (x) e^{- x^{2} / 2} d x

= n! \sqrt{2 π} δ_{𝑛 𝑚}

(provabiliste)

o

\int_{- \infty}^{\infty} H_{n} (x) H_{m} (x) e^{- x^{2}} d x = n! 2^{n} \sqrt{π} δ_{𝑛 𝑚}

(física)

a on $δ_{𝑛 𝑚}$ és la delta de Kronecker, que val l'unitat quan n = m i zero en un atre cas. Els polinomis provabilístics són ortogonals sobre la funció de densitat de provabilitat normal.

e^{2 t x - t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{H_{n}^{p h y s} (x) t^{n}}{n!}

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo, {{{nom2}}} (1992). McGraw-Hill (ed.). Fòrmules i taules de matemàtica aplicada, Aravaca (Madrit).

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomios de Hermite» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.