Polinomis de Laguerre

Els polinomis de Laguerre són una família de polinomis ortogonals, cridats aixina en honor d'Edmond Laguerre, sorgixen en examinar les solucions a l'equació diferencial:

x y^{″} + (1 - x) y^{'} + n y = 0

Desenrollant $y$ en série de potències s'obté una relació de recurrencia entre coeficients consecutius com la que seguix:

a_{k + 1} = \frac{k - n}{(k + 1)^{2}} a_{k}, k = 0, 1, 2, ...; y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}

Pot vore's que sempre que n siga natural s'anula el coeficient de tota potència major (i distinta) que n. Açò és, una de les solucions linealmente independents és un polinomi de grau n (polinomi de laguerre d'orde n, que notarem per L_n(x)). Per a trobar l'atra solució linealmente independent han d'estudiar-se les solucions de l'equació més general $y^{″} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = 0$ .

Definició

El polinomi de Laguerre d'orde n pot definir-se com seguix:

L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x}) .

Que despuix de desenrollar queda de la forma:

L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{1}{k!} x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{n!}{(n - k)! k! k!} x^{k}

alguns d'estos polinomis són:

n	$L_{n} (x)$
0	$1$
1	$- x + 1$
2	$(x^{2} - 4 x + 2) / 2$
3	$(- x^{3} + 9 x^{2} - 18 x + 6) / 6$
4	$(x^{4} - 16 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x + 24) / 24$
5	$(- x^{5} + 25 x^{4} - 200 x^{3} + 600 x^{2} - 600 x + 120) / 120$
6	$(x^{6} - 36 x^{5} + 450 x^{4} - 2400 x^{3} + 5400 x^{2} - 4320 x + 720) / 720$

Els polinomis de Laguerre també poden ser definits per mig de l'integral:

L_{n} (x) = \frac{1}{2 π i} \oint \frac{e^{- x t / (1 - t)}}{(1 - t) t^{n + 1}} d t

Integrant en sentit contrari a les agulles del rellonge sobre qualsevol camí tancat entorn a l'orige del pla complex i contingut en el disc |t| < 1.

Funció generatriz

La funció generatriz dels polinomis de Laguerre ve donada per:

ψ (x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} L_{n} (x) t^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} (\binom{n}{k}) x^{k} t^{n} | t | < 1

Canviant l'orde dels sumatorios, fent el canvi m = n - k i reordenando queda lo que a continuació:

ψ (x, t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k!} x^{k} t^{k} \sum_{m = 0}^{\infty} (\binom{m + k}{k}) t^{m}

Que sabent que $\sum_{m = 0}^{\infty} (\binom{m + k}{k}) t^{m} = {(\frac{1}{1 - t})}^{k + 1} \forall | t | < 1$ , i despuix de reagrupar queda de la forma:

ψ (x, t) = \frac{1}{1 - t} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} {(\frac{- x t}{1 - t})}^{k} = \frac{1}{1 - t} \exp (\frac{- x t}{1 - t})

Relacions de recurrencia

A partir de la funció generatriz, rebujant l'exponencial i derivant respecte de t es pot aplegar a una relació de recurrencia com la següent:

(n + 1) L_{n + 1} (x) = (2 n + 1 - x) L_{n} (x) - n L_{n - 1} (x)

Coneguts els dos primers polinomis (vore taula) pot utilisar-se esta fòrmula per a obtindre el de grau n.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomios de Laguerre» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.