Polinomis per diferències

En matemàtiques, en l'àrea del anàlisis complex, els polinomis per diferències generals són un tipo de séries polinòmiques, una certa subclasse dels polinomis de Sheffer, que inclou els polinomis interpolantes de Newton, els polinomis de Selberg i els polinomis d'interpolació de Stirling com a casos especials.

Definició

La série polinòmica per diferències general ve donada per

$p_n(z)=\frac{z}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{z-\beta n-1}{n-1})$

a on $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})$ és el coeficient binomial. Per a $\beta =0$, els polinomis generats $p_n(z)$ són els polinomis de Newton

$p_n(z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}.$

El cas de $\beta =1$ genera polinomis de Selberg, i el cas de $\beta =-1/2$ genera polinomis d'interpolació de Stirling.

Diferències de moviment

Donada una funció analítica $f(z)$, es definix la diferència de moviment de f com

${ℒ}_n(f)={\Delta }^{n}f(\beta n)$

a on $\Delta$ és la diferència finita. Després, sempre que f obedixca a certes condicions de sumabilidad, llavors pot representar-se en térmens d'estos polinomis com

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z){ℒ}_n(f).$

Les condicions per a la sumabilidad (és dir, la convergència) per a esta série és un tema prou complex; en general, es pot dir que una condició necessària és que la funció analítica siga menor que de tipo exponencial. Les condicions de sumabilidad es discutixen en detalle en Boes & Buck.

Vore també

• Teorema de Carlson
• Polinomis de Bernoulli de segona classe

Referències

• Ralph P. Boes, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.