Primer ordinal infinit

El primer ordinal infinit o menor ordinal infinit, designat com ω, és un número ordinal el tipo del qual d'orde es pot identificar en l'orde total dels número natural.

Explicació

Ordinals finitos i relació d'orde

La definició cobra sentit quan es té en conte que un número ordinal es definix com un conjunt, per eixemple els primers números ordinals es poden concebre com a conjunts:

De fet, un número ordinal és sempre un conjunt transitivo i ben ordenat, qualsevol subconjunt al mateix temps és un element, per eixemple en la série anterior pot vore's que:

Açò permet definir la relació d'orde total entre números ordinals:

Ordinals infinits

La construcció anterior per als primers número natural, repetida un número finito de voltes sempre dona lloc a un ordinal finito. Pero podem concebre un conjunt transitivo i totalment ordenat que no siga finito, per eixemple podem considerar una successió infinita no acotada:

El conjunt $\omega$ pot interpretar-se com el propi $\mathbb{N}$, que és un conjunt totalment ordenat i transitivo (si pensem cada número natural com un conjunt dels números menors que ell), per lo que podem escriure $\omega \sim \mathbb{N}$. l'axioma de infinitud formalisa esta idea en postular que existix un conjunt $\omega$ tal que:

a on $S(y)=y\cup \{y\}$ designa el successor de $y$. ya que la teoria de conjunts axiomàtica de Zermelo-Fraenkel es postula que dit conjunt existix, qualsevol model d'eixos axioma inclourà un conjunt en eixa propietat, que es pot identificar en els número natural. Note's que el conjunt $\mathbb{N}$ satisfà les mateixes propietats que el $\omega$ de l'anterior axioma de infinitud si pensem que cada número entero es definie a partir dels seus ancesores com $n=\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ i ademés $0=\varnothing$ és el conjunt sense elements.

Definició

Qualsevol modele per als axioma ZF contindrà un conjunt transitivo i totalment ordenat per la relació de pertinença $\in$ que satisfà l'axioma de inifinitud. Eixe conjunt és precisament el "menor número ordinal infinit", que a la seua volta usant els atres axioma de la teoria permet construir més ordinals transfinitos majors.

Vore també

• Número ordinal (teoria de conjunts)
• Primer ordinal no numerable

Referències

Bibliografia

• Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
• (2003).«Set Theory».Springer-Verlag.Berlín, Nova York:
• Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
• (1999) Introduction to Set Theory, 3 edició, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0.