Primer ordinal no numerable
En matemàtiques, el primer ordinal no numerable, tradicionalment denotat per ω1 o en ocasions per Ω, és l'ordinal més chicotet que en ser considerat com a conjunt, no és numerable. És el suprem de tots els ordinals numerables. Els elements de ω1 són els ordinals numerables o finitos, dels quals, no hi ha una cantitat numerable. El menor de tots els ordinals numerables, seria el primer ordinal infinit ω0 (també escrit ω).
Com qualsevol ordinal, segons la definició de Von Neumann, ω1 està ben ordenat, en la pertinença (∈) com a relació d'orde. ω1 és un ordinal llímit, i.i no hi ha un ordinal α en α+1=ω1.
La cardinalidad del conjunt ω1 és el primer cardinal no numerable, és dir, alef un . De fet, en la majoria de les construccions ω1 i són el mateix conjunt.
cal senyalar que l'existència de ω1 es pot provar sense l'axioma d'elecció (vore número de Hartogs.)
Propietats topològiques
[editar | editar còdic]Qualsevol ordinal pot equipar-se d'una topología per mig de la topología de l'orde. Quan es treballa com a espai topològic, ω1 es denota comunament com [0,ω1) per a emfatisar que és l'espai consistent de tots els ordinals menors que ω1.
Tota ω-successió creixent d'elements de [0,ω1) convergix a un llímit en [0,ω1). Açò es deu a que l'unió (i.i suprem) de tot conjunt contable d'ordinals contables, és un atre ordinal contable.
L'espai topològic [0,ω1) és secuencialmente compacte pero no compacte. En térmens de axioma de numerabilidad complix el primer axioma de numerabilidad pero no és separable ni segon numerable. Com a conseqüència, no és metrisable.
EL espai [0, ω1] = ω1 + 1 és compacte pero no complix el primer axioma de numerabilidad. ω1 s'usa per a definir la recta llarga, un important contraeixemple en topología.
Referències
[editar | editar còdic]- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Dugundji, James, 1966. Topology. McGraw-Hill Companies. ISBN 0-697-06889-7.
Vore també
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Primer ordinal no numerable» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.