Principi de Saint-Venant

Archiu:Saint-Venants principle-diagram.svg

Esquema de les tensions llongitudinals en un prisma solicitat per forces puntales. Prop dels extrems la distribució no és uniforme, pero cap al centre de la secció els esforços tendixen a ser exactament iguals als que s'haurien obtingut baix càrregues uniformemente distribuïdes, i estáticamente equivalents a les càrregues puntuals.

El principi de Saint-Venant, cridat aixina pel físic matemàtic Jean Claude B. Saint-Venant, en el context de la teoria de l'elasticitat pot enunciar-se com:

"... la diferència entre els efectes de dos sistemes de càrregues estáticamente equivalents es fa arbitrariamente menuda a distàncies suficientment grans dels punts d'aplicació de dites càrregues."

És dir, el principi establix que l'equivalència estàtica implica asintóticamente l'equivalència elàstica.

La formulació original va ser publicada en francés per A. J. C. B. Saint-Venant en 1855. Encara que esta formulació informal del principi és ben coneguda i usualment usada pels ingeniers mecànics, el treball matemàtic més recent ho ha reformulat llaugerament en l'objecte de poder construir una demostració matemàticament precisa en el context de les equacions en derivades parcials de la teoria de l'elasticitat. L'afirmació original no és suficientment precisa per a eixe objectiu tal com va mostrar von Mises en 1945.

Introducció

El principi de Saint-Venant permet en elasticitat aproximar distribucions de tensions complicades o condicions de contorn dèbils per atres més senzilles de tractar matemàticament, sempre i quan el contorn estiga suficientment alluntat.

El principi de Saint-Venant és anàlec a l'usat en electroestática, a on el camp elèctric per una distribució complicada de càrregues, pot ser aproximada per un desenroll multipolar. De fet, la teorema de Saint-Venant establix que si la força resultant (moment d'orde 0) i el moment resultant (moment de primer orde) per a dos sistemes de forces són iguals a grans distàncies el camp de tensions elàstics a ser iguals asintóticament. De fet el principi de Saint-Venant seria equivalent a afirmar que els moments d'orde superior decauen més ràpidament que els de menor orde. Per eixa raó, el principi de Saint-Venant pot ser vist com una afirmació sobre el comportament asintòtic de la funció de Green associada a una càrrega puntual.

Demostracions rigoroses

Des de la publicació del treball de Saint-Venant ha existit una gran cantitat d'intents rigorosos de deduir el principi de Saint-Venant a partir de les equacions en derivades parcials de la teoria de l'elasticitat. Eixe treball ha revelat que ni la forma original en que va ser formulat, ni la formulació clàssica que va fer Love han pogut ser provada. Per eixa raó, diversos autors han reformulat llaugerament el principi per a poder obtindre resultats exactes, i aproximacions per a casos particulars.

Sòlit semi-infinit (Boussinesq, 1885)

Moltes treballs primerencs citaven a M. J. Boussinesq com el primer autor que havia proporcionat una demostració rigorosa del principi. No obstant, el treball de Boussinesq no demostrava el principi en tota la seua generalitat sino només per a un sòlit semi-infinit. En concret Boussinesq va demostrar que per a un sòlit semi-infinit, que ocupa la regió de l'espai en $z\ge 0$ la superfície del qual està formada pel pla $z=0$, Boussinesq va provar que si es coloca una distribució de forces perpendicularment a un conjunt compacte de la superfície en:

Llavors la tensió en un punt (x, i, z) és d'orde ε quan la resultant de forces és zero, i és d'orde ε² quan també el moment resultant és zero. No obstant, el treball de Boussinesq no funciona ni tan sols quan les forces aplicades tenen components tangencials.

Boussinesq va demostrar que una força puntual F aplicada en el centre de coordenades O del sòlit semifinito, el vector tensió sobre un element d'àrea paralela al pla XY, ve dau per:

A partir d'eixa solució pot construir-se la funció de Green associada a una distribució de forces, ya que si la força està aplicada en un punt A = (x₀, i₀, 0) les mateixes fòrmules són usables, pero traslladant la solució (és dir, reemplaçant x per x – x₀ i i per i – i₀). Si es consideren n forces puntuals en punts ${\overline{𝐫}}^{(\alpha )}=({\overline{x}}_1^{(\alpha )},{\overline{x}}_2^{(\alpha )},{\overline{x}}_3^{(\alpha )})$ d'un disc de radi ε centrat en l'orige, i se sumen les tensions provades per totes elles pot provar-se que la tensió normal mija en un punt qualsevol del sòlit semi-inifito ve donada per:

En l'expressió anterior s'usat en conveni de sumación d'Einstein. Òbviament si la força resultant és zero el primer sumant de l'anterior sumatorio s'anula, i si el moment resultant és zero també s'anula el segon, i per tant la decaiguda de la tensió en r és encara major.

Si ben tots estos resultats corroboren el principi de Saint-Venant per a sòlits de grans dimensions en comparació a l'aplicació de les càrregues, no constituïxen una prova general del principi de Saint-Venant per a sòlits de forma qualsevol, ni tan sols para prismes mecànics de llongitut arbitrària.

Contraeixemples en sòlits finitos (Von Mises, 1945)

L'artícul de Von Mises (1945) sobre el principi de Saint-Venant analisa un cos de dimensions finitas, concretament un disc bidimensional de ràdio R, i un conjunt de càrregues superficials sobre el contorn. Von Mises va demostrar en el seu artícul que les tensions en el centre del círcul són de la forma:

De manera similar a lo que va demostrar Boussinesq, Von Mises va provar que si es considera un atre conjunt de forces aplicades en punts propencs, llavors la tensió en el centre que són d'orde 1/R per a unes forces qualssevol, pero són d'un orde menor si la força resultant és zero i més encara si també el moment resultant és zero. Von Mises arreplega els seus resultats i reformula el principi de Saint-Venant en els següents térmens:

Ritme de convergència (Toupin, 1965)

R. A. Toupin escomença el seu artícul de 1965 construint un contraeixemple per a mostrar com la decaiguda de la tensió d'un sistema de forces estáticamente equivalent a zero, deu dependre notablement de la forma de la secció. I sugerix que les formulació més ingènues del principi poden ser falses si es considera una successió de sòlits de forma similar i es considera el llímit. La seua argumentació va dirigida a trobar ritmes de decaiguda o ritmes de convergència cap a zero de les tensions. En eixe sentit el principal resultat que demostra Toupin és que la convergència cap a zero es dona per mig d'una decaiguda exponencial:

Esta forma no proporciona un llímit puntual sino només un llímit en la norma energètica, per lo que Toupin per a conseguir llímits puntuals demostra el següent resultat complementari que en conjunció en l'anterior permet aproximar les tensions:

Bibliografia

• M. J. Boussinesq, Applications dones potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement dones solides élastiques. Paris: Gauthier-Villars 1885.
• R. A. Toupin, "Saint-Venant's Principle", Arch. Rational Mech. Anal, Vol. 18, 1965.