Problema de l'aranya i la mosca

Archiu:Spider and fly problem.svg

Proyecció isomètrica i desenroll pla de la solució ingènua (1) i òptima (2) del problema de l'aranya i la mosca

El problema de l'aranya i la mosca és el nom donat a un repte de matemàtica recreativa (en una solució poc intuïtiva), que consistix en determinar la trayectòria més curta entre dos punts donats de la superfície d'un paralelepípede recorrent les seues cares.

Enunciat del problema

En la versió típica del rompecabezas, una habitació paralelepipédica buida de 30 peus de llarc, 12 peus d'ample i 12 peus d'alt conté una aranya i una mosca. L'aranya està a 1 peu per baix del sostre i centrada horisontalment en un punt d'una de les parets de 12′&claves;12′. La mosca està a 1 peu per damunt del sol i centrada horisontalment en la paret oposta. El problema és trobar la distància mínima que l'aranya deu recórrer sobre les parets, el sostre i/o el sol per a alcançar a la mosca, que permaneix immòvil.

Solucions

Una solució ingènua és que l'aranya permaneixca centrada horisontalment i puge cap al sostre, ho creue i baixe fins a la mosca, donant una distància de 42 peus. La distància més curta seguint estrictament les regles, 40 peus, s'obté construint un desenrolle pla apropiat de l'habitació i conectant l'aranya i la mosca en una llínea recta, pero en contra de l'intuïció, este camí òptim recorre cinc de les sis cares del paralelepípede i es pot perdre fàcilment.

Una solució disruptiva consistix que l'aranya descendixca fins al sol utilisant un fil del seu seda i recórrega 30 peus per a travessar-ho, i puge 1 peu per la paret oposta, donant una distància de 31 peus. De manera similar, pot pujar fins al sostre, creuar-ho i després usar un fil de seda per a baixar 11 peus, també en un resultat de 31 peus.

l	w	h	b	a	n	o	n−o
22	5	5	1	1	27	26	1
22	9	9	1	1	31	30	1
28	8	8	1	1	36	34	2
28	9	7	1	1	35	34	1
26	11	10	1	1	36	35	1
33	6	6	1	1	39	37	2
33	7	5	1	1	38	37	1
34	8	7	1	1	41	39	2
34	9	6	1	1	40	39	1
30	12	12	1	1	42	40	2
30	13	11	1	1	41	40	1
38	5	4	1	1	42	41	1
34	14	13	1	1	47	45	2
34	15	12	1	1	46	45	1
38	15	15	1	1	53	50	3
38	16	14	1	1	52	50	2
36	15	15	2	2	51	50	1
37	15	15	1	2	51	50	1
37	15	15	2	1	51	50	1
38	17	13	1	1	51	50	1
40	17	16	2	2	56	55	1
40	20	20	1	1	60	58	2
38	21	21	1	1	59	58	1
40	21	19	1	1	59	58	1

Per a una habitació de llarc l, ample w i altura h, l'aranya a una distancia b per baix del sostre i la mosca a una distància a per damunt del sol, la distància òptima o és $\sqrt{(w+h{)}^2+(b+l+a{)}^2}$, mentres que la distància ingènua n és $l+h-|b-a|$.

La taula adjacent proporciona solucions sanceres per a l, w &li; 40, h &li; w i o < n, ordenades per o ascendent i després n−o, en els valors originals en negreta.