Procés de Bernoulli

Un procés de Bernoulli és la repetició d'un ensaig de Bernoulli. Per eixemple, d'una moneda estarem estudiant quàntes voltes ix "cara" o quantes voltes ix "creu", o la provabilitat de que ixca "cara", a lo manco una volta, d'un número n d'intents. És important que es complixca que:

1. La provabilitat d'èxit permaneix constant ensaig despuix d'ensaig.
2. Els ensajos deuen ser independents entre sí.

Els processos de Bernoulli són un cas concret de procés estocàstic de temps discret. Segons el problema que nos plantegem sobre el resultat d'un procés de Bernoulli poden sorgir distintes distribucions associades:

Si nos preguntem sobre la provabilitat d'obtindre r èxits en n ensajos, la provabilitat de que succeïxca en un ensaig és p, correspon la cridada distribució binomial:

$\frac{n!}{r!(n-r)!}{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

Si volem saber la provabilitat de necessitar exactament n ensajos per a obtindre r èxits, devem usar la distribució binomial negativa o la distribució de Pascal:

$\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

La distribució de Pascal és un cas particular de la distribució binomial negativa que requerix que els valors de n i r siguen sancers, mentres que en la distribució binomial negativa r pot ser real major que zero i n-r entere no negatiu (la fòrmula que figura més dalt correspon a la distribució de Pascal).

Quan r=1 s'obté la distribució geomètrica.

Màquina de Galton, demostrant una distribució normal. Est és un eixemple d'un Procés de Bernoulli.

Definició

Un procés de Bernoulli és una seqüència finita o infinita de variables aleatòries independents $X_1,X_2,X_3\mathrm{...}$, tals que

Per a cada variable, el valor de $x_i$és 0 o 1; Per a tots els valors de $i$, la provabilitat de que $X_i=1$ siga el mateix número $p$. En atres paraules, un procés de Bernoulli és una seqüència d'ensajos independents de Bernoulli distribuïts de forma idèntica.

L'independència dels ensajos implica que el procés no té memòria. Ya que la provabilitat $p$ és coneguda, els resultats passats no proporcionen informació sobre els resultats futurs. (Si $p$ és desconegut, no obstant, el passat informa sobre el futur indirectament, a través de inferència sobre $p$.)

Si el procés és infinit, llavors, de qualsevol punt els ensajos futurs constituïxen un procés de Bernoulli idèntic al procés sancer.

Interpretació

Els dos valors possibles de cada $X_i$ es diuen a sovint "èxit" i "fracàs". Aixina, quan s'expressa com un número 0 o 1, el resultat pot cridar-se el número d'èxits en l'i-ésimo "juí".

Atres dos interpretacions comunes dels valors són verdaderes o falses i sí o no. Baixe qualsevol interpretació dels dos valors, les variables individuals $X_i$poden denominar-se ensaig de Bernoulli en el paràmetro $p$.

En moltes aplicacions, el temps passa entre ensajos a mida que aumenta l'índex $i$. En efecte, els ensajos $X_1,X_2,\mathrm{...},X_i\mathrm{...}$ succeïxen en "punts en el temps" $1,2,\mathrm{...},i,\mathrm{...}$ Eixe pas del temps i les nocions associades de "passat" I "futur" no són necessaris, no obstant. En general, qualsevol $X_i$ i $X_j$ en el procés són simplement dos d'un conjunt de variables aleatòries indexades per $\{1,2,\mathrm{...},n\}$ o per $\{1,2,3,\mathrm{...}\}$, en els casos finito i infinit, respectivament.

Múltiples variables aleatòries i distribucions de provabilitat junt en les de Bernoulli poden derivar-se del procés de Bernoulli:

El número d'èxits en els primers $n$ ensajos, que té una distribució binomial $B(n,p)$ El número d'ensajos necessaris per a obtindre $r$ èxits, que té una distribució binomial negativa $NB(r,p)$ El número d'ensajos necessaris per a obtindre un èxit, que té una distribució geomètrica $NB(1,p)$, un cas especial de la distribució binomial negativa. Les variables binomiales negatives poden interpretar-se com a temps d'espera aleatoris.