Producte de Cantor

Un producte de Cantor és una descomposició única en forma de producte infinit de número racional, que existix per a qualsevol número real $r>1$, de la forma:

a on els números $q_k\in \mathbb{N}$ són número natural positius i a on, ademés, $q_{k+1}\ge q_k^2$

Enunciat de la teorema de Cantor

La teorema de Cantor sobre productes cantorianos infinits pot resumir-se de la següent forma:

Siga ${\alpha }_0>1$ un número real. Llavors s'aplica lo següent:

(I) Para ${\alpha }_0$ una i solament una successió d'número natural $(q_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ es pot determinar de tal manera que ${\alpha }_0$ és una representació del producte de la forma

${\alpha }_0=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{q_n})$

a on en esta successió, per a cada índex $n$ la desigualtat $q_{n+1}\ge {q_n}^2$ i a on només apareix un número finito d'elements de seqüència en $q_n=1$.

(II) Tot producte cantoriano, és dir, tot producte infinit de la forma descrita en (I), és convergent.

(III) ${\alpha }_0$ és un número racional si i solament si en la representació del producte de Cantor segons (I) d'un índex $N$ per a tots els índexs posteriors $n\ge N$ sempre l'identitat $q_{n+1}={q_n}^2$.

Propietats

Es complix que per a $r\in (2^{k-1},2^k]$ llavors $q_1=q_2=\dots =q_k=1$ i, òbviament el restant de components compliran que $q_{k+1}<q_{k+2}<\dots$. Note's que a partir del primer valor per al qual $q_{k+1}>1$ el restant de sancers creixen molt ràpit i per tant la convergència de la producte infinit s'accelera.

Eixemples

$\sqrt{2}=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{17})(1+\frac{1}{577})(1+\frac{1}{665857})\dots$

$\sqrt{3}=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{7})(1+\frac{1}{97})(1+\frac{1}{18817})\dots$

Més en general es té $\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}=(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})(1+\frac{1}{a_3})\dots$ en $a_1=k$ i $a_{k+1}=2a_k^2-1$

Referències

Bibliografia

• Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer.
• Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77.
• Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind $\sqrt{2}$ in Sulba-Sutras and Cantor Product".