Propietat de l'intersecció finita

En matemàtiques, una família de conjunts F té la propietat de l'intersecció finita si l'intersecció de tota subfamília de F finita i no buida té intersecció no nula.

Definició

La definició formal d'esta propietat és:

Eixemples.

Tota colecció de conjunts en intersecció no buida posseïx automàticament la propietat de l'intersecció finita. La colecció d'intervals {(0, 1/n)}_{n ∈ N} té la propietat de l'intersecció finita, ya que per a qualsevol subfamília finita i no buida, existix un (0, 1/k) en k màxim, i l'intersecció de tots els elements de dita subfamília és precisament (0, 1/k). En general, qualsevol família de conjunts no buits que este totalment ordenada per l'inclusió té la propietat. Siga X_i el conjunt dels número real en l'interval (0,1) en l'expansió decimal del qual el dígit i-ésimo és 0, a on i és un sancer positiu. La colecció de tots els X_i té la propietat de l'intersecció finita: l'intersecció d'una colecció finita de X_i és el conjunt dels números en (0, 1) para els que els valors de certes posicions del seu desenroll decimal són 0. No obstant, en este cas, l'intersecció de tots els X_i és buida, ya que solament podria contindre al 0, exclós de (0, 1) Cap família que incloga al conjunt buit pot tindre la propietat de l'intersecció finita.

Use

La propietat de l'intersecció finita s'utilisa per a caracterisar als espais compactes de manera alternativa: un espai és compacte si tota família de tancats en la propietat de l'intersecció finita té intersecció no buida.

Referències

• ^{[enllaç trencat]}.
• Munkres, James (2001). «§26. Espais compactes», Topología, Pearson Educació. ISBN 9788420531809.