Raïl quadrada de tres

Archiu:30-60-90.svg

Raïl quadrada de tres

Archiu:Root 3 Hexagon.svg

La raïl quadrada de 3 és igual a la llongitut a través dels costats plans d'un hexàgon regular en els costats de la llongitut 1.

La raïl quadrada de tres és un número real positiu que quan és multiplicat per sí mateixa dona el número tres. Es denota per Plantilla:Raïl.

El seu valor numèric per truncació en dèu sifres decimals és d'1,73205080757 (seqüència n.º Plantilla:OEIS2 del OEIS).

$y=\sqrt{3},y=3^{\frac{1}{2}}$ dos notacions per al mateix número irracional que representa l'altura d'un triàngul equilátero de costat 2

La raïl quadrada de 3 és un número irracional. També es coneix com a constant de Teodoro nomenada en honor de Teodoro de Cirene.

Geometria

Si un triàngul equilátero en els costats de llongitut 2 es talla en dos parts iguals, per mig de la bisectriz d'un àngul intern es forma en el costat bisecado, un àngul recte en un costat. L'àngul recte conforma un triàngul rectàngul d'hipotenusa en llongitut 2 i els catetos, un de llongitut 1 i un atre, de $\sqrt{3}$. En conseqüència, el valor de tan60º és igual a $\sqrt{3}$.

Açò és la distància entre els costats plans oposts d'un hexàgon regular en els costats de la llongitut 1.

Archiu:Square root of 3 in cube.svg

La raïl quadrada de 3 també és igual a la diagonal d'una gaveta els costats de la qual tinguen tots com a mida 1, açò pot ser demostrat pel teorema de Pitágoras de la següent forma:

Ya que les cares que formen la gaveta tenen també medida 1 podem demostrar que la diagonal de qualsevol de les seues cares medix la raïl quadrada de 2 aixina:

$1^2+1^2=x^2$;

$x=\sqrt{2}$

Ara construint un rectàngul la superfície del qual comprenga tot el pas de la diagonal de la gaveta, eixe rectàngul tindria uns costats les mides dels quals serien $\sqrt{2}$ i 1, sent la diagonal d'este rectàngul la diagonal de la gaveta, per lo que en calcular eixa diagonal veem que:

$1^2+(\sqrt{2}{)}^2=x^2$;

$x=\sqrt{3}$

Quedant demostrat que la diagonal d'una gaveta els costats de la qual tinguen com a mida un és igual a la raïl quadrada de 3.

Àlgebra

L'número real $\sqrt{3}$ és una de la raïls de l'equació de segon grau $x^2=3$. Per lo tant és un número algebraico de segon grau.

• $\sqrt{3}$ és la major de les raïls reals de l'equació trinomia de quart grau $x^4-5x^2+6=0$

Intervé en la forma quadràtica $m+n\sqrt{3}$ a on $m,n$ són número racional. La seua norma és $N=m^2-3n^2$.

La seua irracionalitat es prova assumint que és un número racional; açò és que existix un racional $\frac{r}{s}$, que complix l'equació $\frac{r}{s}=\sqrt{3}$; supòsit que du a una contradicció.

La demostració és la següent:

1. S'assumix que: $\sqrt{3}$ és un número racional, en això se sap que existixen dos número entero a i b tal que se satisfaça que la fracció a / b —$\sqrt{3}$.
2. Llavors $\sqrt{3}$ pot ser escrit com una fracció irreducible (la fracció és reduïda tant com siga possible) a / b tal que a i b són número primo entre sí i (a / b)² = 3.
3. Se seguix que a² / b² = 3 i a² = 3 b².
4. Per lo tant a² és múltiple de 3 degut a que és igual a 3 b² la qual cosa és obvi.
5. Se seguix que a deu ser també múltiple de 3.
6. Degut a que a és múltiple de 3, llavors existix un número entero k tal que satisfà: a = 3k.
7. Insertem el resultat en l'última equació de (6): 3b² = (3k)² equival a 3b² = 9k² que equival a b² = 3k².
8. Com 3k² és múltiple de 3 es deduïx que b² ho és també, i per tant que b és múltiple de 3.
9. Pero que (4) i (8) a i b siguen abdós múltiples del mateix número contradiu que a / b és irreducible tal i com es va afirmar en (2).

S'ha trobat una contradicció en assumir en (1) que $\sqrt{3}$ és un número racional, després esta afirmació és falsa. Es demostra llavors lo contrari: $\sqrt{3}$ és irracional.

Vore també

• Raïl quadrada
• Raïl quadrada de 2
• Raïl quadrada de 5