Regla 68-95-99.7

Per a una distribució aproximadament normal, els valors compresos en un interval de semiancho una desviació típica respecte a la mija aritmètica de la mostra, comprenen el 68% de les senyes; mentres que dos desviacions de semiancho comprenen el 95%; i tres deviaciones de semiancho inclouen el 99.7%. Els percentages mostrats són provabilitats teòriques redonejades, destinades solament a aproximar les senyes empíriques derivades d'una població normal. Esta regla generalment s'ensenya dins de les matemàtiques bàsiques comunes

Interval de predicció (eix x) front a percentage de la mostra (eix i, en escala logarítmica en base 10)

En estadística, la regla 68-95-99.7, també coneguda com a regla empírica, és una abreviatura utilisada per a recordar el percentage de valors que es troben dins d'una banda al voltant de la mija en una distribució normal en un ample de dos, quatre i sis voltes la desviació típica, respectivament. Més exactament, el 68.27 %, el 95.45 % i el 99.73 % dels valors es troben dins de bandes en semiancho d'una, dos i tres voltes la desviació típica respecte a la mija.

En notació matemàtica, estos fets es poden expressar de la següent manera, sent Χ una observació d'una variable aleatòria normalment distribuïda, μ la mija aritmètica de la distribució i σ la seua desviació estàndar:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}(\mu -1\sigma \le X\le \mu +1\sigma )& \approx 0.6827\\ \mathrm{Pr}(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )& \approx 0.9545\\ \mathrm{Pr}(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )& \approx 0.9973\end{array}$

En les ciències empíriques, la també cridada "regla del polze de les tres sigmas" denota un criteri heurístic convencional que considera que casi tots els valors d'una mostra es troben dins de tres desviacions estàndar de la mija, i que per lo tant en la pràctica és útil tractar el 99.7 % de provabilitat com a certea. L'utilitat d'esta pràctica depén significativament de la pregunta que s'estiga considerant. En les ciències socials, un resultat pot considerar-se significatiu si el seu interval de confiança de l'efecte analisat és de l'orde de dos sigma (95 %), mentres que en física de partícules, existix la convenció de que un determinat nou efecte deu constatar-se en un interval de confiança de cinc sigmas (99.99994 %) per a ser calificat com un fet cert i considerar-se un descobriment.

La regla del polze de les tres sigmas es relaciona en un resultat també conegut com la regla de les tres sigma, que establix que inclús per a les variables de distribució no normal, a lo manco el 88.8 % dels casos deuen encaixar correctament en intervals de tres sigma. Este principi es deduïx de la Desigualtat de Chebyshov. Para distribucions unimodales, la provabilitat d'estar dins de l'interval és d'a lo manco el 95 %. Poden donar-se certes suposicions per a una distribució que obliguen a que esta provabilitat siga a lo manco del 98 %.

Demostració

Tenim que

$\begin{array}{c}\mathrm{Pr}(\mu -n\sigma \le X\le \mu +n\sigma )=\underset{\mu -n\sigma }{\overset{\mu +n\sigma }{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx\end{array}$,

fent el canvi de variables $u=\frac{x-\mu }{\sigma }$, obtenim

$\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-n}{\overset{n}{\int }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du\end{array}$,

i esta integral és independent de $\mu$ i $\sigma$. Només necessitem calcular l'integral en els casos $n=1,2,3$.

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Pr}(\mu -1\sigma \le X\le \mu +1\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du\approx 0.6827\\ & \mathrm{Pr}(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-2}{\overset{2}{\int }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du\approx 0.9545\\ & \mathrm{Pr}(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-3}{\overset{3}{\int }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du\approx \mathrm{0.9973.}\end{array}$

Funció de distribució acumulada

Diagrama mostrant la funció de distribució normal en mija (μ) 0 i varianza (σ²) 1

Estos valors numèrics "68 %, 95 %, 99.7 %" provenen de la funció de distribució acumulada de la distribució normal.

L'interval de predicció per a qualsevol unitat tipificada z correspon numèricament a (1 − (1 − Φ_μ,σ² (z)) · 2).

Per eixemple, Φ(2) ≈ 0.9772, o Pr(X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.9772, corresponent a un interval de predicció de (1 - (1 - 0.97725) · 2) =  0.9545 = 95.45%.

Deu tindre's en conte que esta fòrmula és una aproximació, ya que els intervals no són necessàriament simètrics, i ací s'ha calculat simplement dos voltes la provabilitat de que una observació siga menor que μ + 2σ. Per a calcular la provabilitat de que una observació es trobe dins de dos desviacions estàndar de la mija, el procediment exacte (en chicotetes diferències degudes al grosseig) és:

$\mathrm{Pr}(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545$

Açò es relaciona en els intervals de confiança com s'utilisen en les estadístiques: $\overline{X}\pm 2\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ té aproximadament un interval de confiança del 95% quan $\overline{X}$ és el promig d'una mostra de tamany $n$.

Vore també

• Valor p
• Sis sigma
• Unitat tipificada
• t-estadística