Ret (matemàtica)

En matemàtiques, una ret és la generalisació del concepte de successió, de tal manera que no necessàriament tinga una cantitat numerable d'elements. És el concepte més adequat (o també el seu equivalent de filtre) per a estudiar la convergència en un espai topològic.

Definició

Conjunt dirigit

Un conjunt dirigit és un parell $(D,\sim )$ en el que $D$ és un conjunt i $\sim$ és una relació en $D$ que verifica les següents propietats:

$\mathrm{\forall }x\in D,x\sim x$ (propietat reflexiva).

$\mathrm{\forall }x,y,z\in D$ tals que $x\sim y$ i $y\sim z$, es complix llavors que $x\sim z$ (propietat transitiva).

$\mathrm{\forall }x,y\in D,\mathrm{\exists }z\in D$ tal que $x\sim z$ i $y\sim z$.

Usualment, la relació $\sim$ es llig com "menor igual" (en forma intuïtiva).

En particular, tot conjunt totalment ordenat és un conjunt dirigit. Un eixemple important de conjunt dirigit és $N_{x_0}$, el conjunt dels entorns d'un punt $x_0$ en un espai topològic, dotat de la relació d'inclusió, a on un conjunt es dirà "major" que un atre si està inclós en ell.

Ret

Una ret en un conjunt $X$ no és més que una aplicació $r:(D,\sim )⟶X$ entre un conjunt dirigit $(D,\sim )$ i un conjunt $X$. Se sol representar per $(x_d{)}_{d\in D}$, a on $r(d)=:x_d$.

Subred

Tal com en el context de successions hi ha una noció de subsucesiones, en el concepte de rets també hi ha un concepte similar. Aixina, diem que $\{y_e{\}}_{e\in E}$ és una subred de $\{x_d{\}}_{d\in D}$ (a on $D,E$ són conjunts dirigits) si i solament si existix una funció $f:E⟶D$ que verifica les següents dos propietats:

$\mathrm{\forall }d\in D,\mathrm{\exists }e\in E$ tal que $\mathrm{\forall }{e}^{\prime }\in E,e\sim e^{\prime },d\sim f(e^{\prime })$

$\mathrm{\forall }e\in E,y_e=x_{f(e)}$

La primera condició reflectix l'idea intuïtiva de que la sub-ret es "vaja a infinit" junt en la ret, mentres que la segona és simplement demanar que els punts que prenga siguen efectivament punts de la ret.

És fàcil vore que tota subred d'una ret és també una ret.

Convergència

Llímit d'una ret

Siga $(X,T)$ un espai topològic i $(x_d{)}_{d\in D}$ una ret en $X$. Es diu que $x\in X$ és un punt llímit de la ret $(x\in \underset{d\in D}{\lim }{x}_d)$ si la ret està eventualment en cada entorn de $x$, és dir, si qualsevol que siga l'entorn $V$ de $x$ (açò és, qualsevol que siga el conjunt $V$ de manera que existixca un obert $G$ tal que $x\in G\subset V$) existix un $d_0\in D$ de tal forma que per a cada $d\in D$ en $d_0\sim d$ es complix que $x_d\in V$.

De la pròpia definició es desprenen de forma immediata dos conseqüències:

1. El llímit d'una ret no sempre ha d'existir. Existixen rets que carixen de llímit.
2. En cas d'existir, el llímit d'una ret no necessàriament és un únic element, sino que és un conjunt d'elements. En el cas d'espais topològics en la propietat de Hausdorff (i.i., T₂), el llímit, si existix, es reduïx a un únic punt.
3. Tota sub-ret d'una ret convergent convergix al mateix llímit que la ret

Punt d'Acumulació

Baixe el mateix context anterior, es diu que una ret $\{x_d{\}}_{d\in D}$ té com a punt d'acumulació (o acumula en) $x\in X$ si la ret està freqüentment en cada entorn de $x$, és dir, si para tot $V$ entorn de $x$, i para tot $d\in D,\mathrm{\exists }{d}^{\prime }\in D,d\sim d^{\prime }$ tal que $x_{d^{\prime }}\in V$.

És fàcil vore que tota ret convergent té el seu llímit com a punt d'acumulació. Es complix ademés que $x$ és punt d'acumulació d'una ret si i solament si existix una sub-ret que convergix a $x$. En este punt es troba la primera gran diferència en successions: una successió (que en particular és una ret) té a $x\in X$ com a punt d'acumulació si i solament si existix una sub-ret que tenda a $x$, pero esta sub-ret no té perqué ser una successió també.