Rosa polar

Archiu:Rose-rhodonea-curve-7x9-chart.svg

Rosa polar

Archiu:Foucault pendulum animated.gif

En l'experiment de Foucault, el péndola descriu una rosa polar.

En matemàtiques, rosa polar és el nom que rep qualsevol membre d'una família de curves d'equació $r(\theta )=\cos (k\theta )$ per assemblar-se a una flor de pétals.

Esta família, també coneguda com rhodoneas (del grec rhodon, rosa), va ser estudiada pel matemàtic Luigi Guido Grandi, entorn al 1725, en el seu llibre Flores Geometrici.

Com a casos particulars, la rosa de tres pétals rep també el nom de trifolium regular i la de quatre, el de quadrifolium. Per a k=1/2 s'obté la curva coneguda com folium de Durero.

Equació

Archiu:Rhodonea curve.png

Roses definides per $r=\sin k\theta$, per a valors racionals de k=n/d. L'última fila correspon a valors sancers de k

La seua expressió general en coordenades polars és:

$r(\theta )=a\cos (k\theta +{\varphi }_0)$

A on a representa la llongitut dels pétals i ${\varphi }_0$ solament té un efecte de realisar una rotació global sobre la figura. Llevat similitut, totes estes curves poden reduir-se a la família:

$r(\theta )=\cos (k\theta )$

Ací la forma queda determinada pel valor del paràmetro k:

• Si k és un número entero, estes equacions produiran k pétals si k és impar; o 2k pétals si k és parell.
• Si k és racional, llavors la curva és tancada i de llongitut finita.
• Si k és irracional, la seua image formarà un conjunt dens en el disc de radi a.

L'expressió en coordenades cartesianas de la rosa de quatre pétals és $(x^2+y^2{)}^3=4a^2{x}^2{y}^2$ i per a la rosa de tres pétals $(x^2+y^2{)}^2=ax(x^2-3y^2)$.

Àrea

Archiu:Rose 2sin(4theta).svg

Rosa polar d'equació $r$ (θ) = 2 sense  4θ. La seua àrea és, sorprenentment, la mitat de la del círcul en que està inscrita.

l'àrea d'una rosa d'equació $r=a\cos (k\theta )$ en k natural és igual a:

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{2}$

si k és parell, i

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{4}$

si k és impar.

Vore també

• Hipocicloide
• Astroide
• Superelipse
• Trisectriz caragol: té la mateixa forma que la rosa en k = 1/3.
• Cuadrifolio: una rosa a on k = 2.
• Rosa de Maurer
• Rosa (topología)
• Sectriz de Maclaurin
• Espirógrafo