Série de Bell

En matemàtica, una série de Bell és una série de potències formal utilisada per a estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les séries de Bell varen ser introduïdes i desenrollades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica $f$ i un número primo $p$, es definix la série de potències formal $f_p(x)$, cridada série de Bell de $f$ mòdul $p$ com:

$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Es pot demostrar que dos funcions multiplicativas són idèntiques si totes les seues séries de Bell són iguals; açò a voltes es diu teorema d'unicitat. Donades les funcions mutiplicativas $f$ i $g$, es té que $f=g$ si i només si:

$f_p(x)=g_p(x)$ per a tots els cosins $p$.

Dos séries poden ser multiplicades (a voltes cridat com a teorema de multiplicació): Per a dos funcions aritmètiques qualssevol $f$ i $g$, siga $h=f*g$ la seua convolución de Dirichlet. Llavors, per a cada primer $p$, es té que:

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

En particular, açò convertix en trivial el trobar la série de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si $f$ és completament multiplicativa, llavors:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Eixemples

A continuació es mostren les séries de Bell de funcions aritmètica molt conegudes.

• La funció de Möbius $\mu$ té ${\mu }_p(x)=1-x.$
• Funció φ de Euler $\phi$ té ${\phi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• L'identitat multiplicativa de la convolución de Dirichlet $\delta$ té ${\delta }_p(x)=1.$
• La funció de Liouville $\lambda$ té ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• La funció potencia Aneu_k té $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Ací, Aneu_k és la funció completament multiplicativa ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• La funció divisor ${\sigma }_k$ té $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k)x+p^k{x}^2}.$