Símbol k-Pochhammer

En la teoria matemàtica de funcions especials, el símbol k-Pochhammer i la funció k-gamma, introduïdes per Rafael Díaz i Eddy Pariguan són generalisacions del símbol de Pochhammer i la funció gamma. Es diferencien del símbol de Pochhammer i la funció gamma en que es poden relacionar en una progressió aritmètica general de la mateixa manera que es relacionen en la seqüència de sancers consecutius.

Definició

El símbol k de Pochhammer(x)_n,k es definix com

$\begin{array}{cc}(x{)}_{n,k}& =x(x+k)(x+2k)\cdots (x+(n-1)k)=\prod _{i=1}^n(x+(i-1)k)\\ & =k^n\times {\left(\frac{x}{k}\right)}_n,\end{array}$

i la funció k-gamma Γ_k, en k > 0, es definix com

${\Gamma }_k(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!k^n(nk{)}^{x/k-1}}{(x{)}_{n,k}}.$

Quan k=1 s'obtenen el símbol de Pochhammer estàndar i la funció gamma clàssica.

Díaz i Pariguan usen eixes definicions per a demostrar un número de propietats de la funció hipergeométrica. A pesar de que Díaz i Pariguan restringixen eixos símbols per a k > 0, el símbol k Pochhammer com ells ho definixen està ben definit per a tots els número real k, i per als números negatius k s'obté el factorial descendent, mentres que per a k = 0 es reduïx a la potencia xⁿ.

L'artícul de Díaz i Pariguan no aborda les moltes analogia entre el símbol k de Pochhammer i la funció potencia, com el fet de que el teorema del binomi es pot estendre als símbols k de Pochhammer . No obstant, és cert que moltes equacions que involucren la funció de potència xⁿ continuen sent vàlides quan xⁿ es reemplaça per (x )_n,k.