Sistema conservativo

Un sistema conservativo és un sistema mecànic en el que l'energia mecànica es conserva. En la majoria dels eixemples de sistemes conservativos, la conservació de l'energia se seguix del fet de que les interaccions entre les diferents partícules vénen descrites per forces conservativas. En conseqüència, en dits sistemes l'energia mecànica és una integral del moviment i, per tant, una mínima cantitat conservada.

Els sistemes mecànics disipativos són eixemples de sistemes mecànics no conservativos.

Mecànica Newtoniana

Un sistema de partícules que interactuen entre elles és un sistema mecànic conservativo si les forces poden expressar-se com a gradient d'un cert potencial; per a vore-ho, basta considerar les equacions del moviment:

a on r_i(t) és la posició de la partícula i-ésima en l'instant de temps t, i F_ji representa la força que eixercix la partícula j sobre la partícula i. Si admetem que dites forces són conservativas i que poden derivar-se d'un potencial:

és immediat comprovar que l'energia mecànica, definida com la suma d'energia cinètica i energia potencial

és una magnitut constant a lo llarc de les «trayectòries» reals del sistema, lo que pot vore's directament:

Ademés, pot provar-se que si les forces solament depenen de la distància entre les partícules i si el seu sentit d'acció coincidix en el de la llínea que unix dites partícules, es conserva ademés tant el moment llineal com el moment angular.

Mecànica lagrangiana i hamiltoniana

En mecànica hamiltoniana, un sistema és conservativo si el hamiltoniano o el lagrangiano, expressats per mig d'un conjunt de coordenades naturals, no depén explícitament del temps, ya que en eixe cas:

a on s'han tingut en conte les equacions del moviment i la definició del moment conjugat:

Per a vore si el sistema és natural —és dir, si el hamiltoniano coincidix en l'energia—, es calcula l'energia cinètica expressada en les coordenades generalisades a partir de la seua expressió newtoniana.

Integrabilidad

Els sistemes d'un sol grau de llibertat conservativos són automàticament integrables.