Teorema d'extinció de Ewald i Oseen

En òptica, la teorema d'extinció de Ewald i Oseen, a voltes denominat simplement teorema d'extinció, és un postulat que subyacer a la comprensió comuna de fenomens lumínicos com la dispersió (aixina com de la refracció, la reflexió i la difracció). Du el nom de Paul Ewald i de Carl Wilhelm Oseen, els qui varen demostrar la teorema en mijos cristalins i isotrópicos, respectivament, en 1916 i 1915. Originalment, la teorema s'aplicava a la dispersió d'objectes dielèctrics isotrópicos en l'espai lliure. L'alcanç de la teorema es va ampliar enormement per a comprendre una àmplia varietat de mijos bianisotrópicos.

Visió general

Una part important de la teoria de la física òptica és començar en la física microscòpica (el comportament dels àtoms i electrons) i utilisar-la per a "deduir" les familiars lleis macroscòpiques de l'òptica. En particular, existix una conexió entre cóm funciona l'índex de refracció i d'on prové, a partir de la física microscòpica. La teorema d'extinció de Ewald-Oseen és una part d'eixa deducció (de la mateixa manera que l'equació de Clausius-Mossoti i unes atres).

Quan la llum que viaja en el buit entra en un mig transparent com el vidre, la llum es ralentisa, tal i com indica la seua índex de refracció. Encara que este fet és conegut i familiar, en realitat és prou estrany i sorprenent quan es pensa en això microscópicament. Despuix de tot, segons el principi de superposició, la llum en el cristal és una superposició de:

• L'ona de llum original, i
• Les ones de llum emeses pels electrons oscilantes en el vidre.

(la llum és un camp electromagnètic oscilante que espenta els electrons cap a avant i cap a arrere, emetent radiació dipolar).

Individualment, cada una d'estes ones viaja a la velocitat de la llum en el buit, no a la velocitat (més llenta) de la llum en el vidre. No obstant, quan se sumen les ones, sorprenentment creen solament una ona que viaja a menor velocitat.

La teorema d'extinció de Ewald-Oseen diu que la llum emesa pels àtoms té una component que viaja a la velocitat de la llum en el buit, lo que anula (extinguix) exactament l'ona de llum original. Ademés, la llum emesa pels àtoms té una component que sembla una ona que viaja a la velocitat més llenta de la llum en el vidre. En total, la única ona en el cristal és l'ona llenta, consistent en lo que s'espera de l'òptica bàsica.

Es pot trobar una descripció més completa en el text Classical Optics and its Applications, de Masud Mansuripur. Per un atre costat, l'obra Principles of Optics, de Born i Wolf, inclou una demostració de la teorema clàssica, i la de la seua extensió ha segut presentada per Akhlesh Lakhtakia.

Obtenció de les equacions de Maxwell

Introducció

Quan una ona electromagnètica penetra en un mig dielèctric, excita (fa resonar) els electrons del material, ya siga que estiguen lliures o lligats, posant-los en un estat vibratorio en la mateixa freqüència que l'ona. Estos electrons, a la seua volta, irradiarán els seus propis camps electromagnètics com a resultat de la seua oscilació (camps electromagnètics de càrregues oscilantes). Per la linealidad de les equacions de Maxwell, s'espera que el camp total en qualsevol punt de l'espai siga la suma del camp original i del camp produït pels electrons oscilantes. No obstant, este resultat és contrari a l'intuïció de l'ona en el dielèctric que s'observa en la pràctica, que es mou a una velocitat de c/n, a on n és l'índex de refracció mig. La teorema d'extinció de Ewald-Oseen busca explicar este fenomen, demostrant cóm la superposició d'estes dos ones reproduïx el resultat familiar d'una ona que es mou a una velocitat de c/n.

Deducció

La següent és una deducció basada en un treball de Ballenegger i Weber. Es partix de considerar una situació simplificada en la que una ona electromagnètica monocromàtica normalment incidix sobre un mig que ompli la mitat de l'espai en la regió z>0, com es mostra en la Figura 1.

Archiu:Dielectric half space.svg

Figura 1: El semiespacio z>0 és un material dielèctric en susceptibilitat χ, i el semiespacio z<0 és el buit

El camp elèctric en un punt de l'espai és la suma dels camps elèctrics deguts a totes les diverses fonts. En el cas analisat, se separen els camps en dos categories segons les seues fonts generadores. Es denota el camp incident com

${𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}$

i la suma dels camps generats pels electrons oscilantes en el mig travessat com:

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(z,t).$

El camp total en qualsevol punt z de l'espai ve dau per la superposició de les dos contribucions,

$𝐄(z,t)={𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z,t)+{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(z,t).$

Per a coincidir en les observacions empíriques, ${𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}$ té esta forma. No obstant, ya se sap que dins del mig, z>0, solament s'observa lo que es denomina el camp I transmés ${𝐄}_{\mathrm{T}}$, que viaja a través del material a la velocitat c/n.

Per lo tant, en estes condicions:

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(z,t)=-{𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z,t)+{𝐄}_T(z,t)$

És dir, el camp radiado anula al camp incident i crea un camp transmés que viaja dins del mig a velocitat c/n. Usant la mateixa llògica, fòra del mig el camp radiado produïx l'efecte d'un camp reflectit ${𝐄}_R$ que viaja en velocitat c en direcció oposta al camp incident:

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(z,t)=-{𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z,t)-{𝐄}_R(z,t)$

Suponga's que la llongitut d'ona és molt major que la separació promig dels àtoms, per lo que el mig pot considerar-se continu. Usant els camps macroscòpics I i B habituals i prenent el mig com no magnètic i neutre, les equacions de Maxwell prenen la forma

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐄& =-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐁& ={𝝁}_0𝐉+{ϵ}_0{𝝁}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\end{array}$

Tant el camp elèctric total com el camp magnètic

$𝐄={𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}+{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}},𝐁={𝐁}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}+{𝐁}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$

s'expressen segons el conjunt d'equacions de Maxwell dins del dielèctric:

$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot {𝐁}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=0\\ \mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=-\partial {𝐁}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}/\partial t\\ \mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}={\mu }_0𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0\partial {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}/\partial t\end{array}$

a on $𝐉$ inclou la corrent verdadera i de polarisació induïda en el material pel camp elèctric exterior. Se supon ara una relació llineal entre la corrent i el camp elèctric, i per lo tant:

$𝐉=\sigma ({𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}+{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})$

El conjunt d'equacions de Maxwell fora del dielèctric no té terme de densitat de corrent.

$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot {𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}=0\\ \mathrm{\nabla }\cdot {𝐁}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}=0\\ \mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}=-\partial {𝐁}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}/\partial t\\ \mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}={ϵ}_0{\mu }_0\partial {𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}/\partial t\end{array}$

Els dos conjunts d'equacions de Maxwell estan acoplats, ya que el camp elèctric del buit apareix en el terme de densitat de corrent.

Per a una ona monocromàtica en incidència normal, el camp elèctric del buit té la forma:

${𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z,t)={𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}\exp [i(kz-\omega t)],$

en $k=\omega /c$.

Ara, per a resoldre ${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$, es pren la curvatura de la tercera equació del primer conjunt d'equacions de Maxwell i es combina en la quarta:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}& =-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})\\ \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}& =-\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}{\partial t})\end{array}$

Simplificant l'expressió en un parell de passos usant la suma d'Einstein, s'obté:

$\begin{array}{cc}(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐄{)}_i& ={ϵ}_{ijk}{ϵ}_{klm}{\partial }_j{\partial }_l{E}_m\\ & =({\delta }_{il}{\delta }_{j\mathrm{m}}-{\delta }_{i\mathrm{m}}{\delta }_{jl}){\partial }_j{\partial }_l{E}_m\\ & ={\partial }_i({\partial }_j{E}_j)-{\partial }_j{\partial }_j{E}_i\end{array}$

i per lo tant, resulta que

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{rad}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot {𝐄}_{rad})-{\mathrm{\nabla }}^2{𝐄}_{rad}$

Ara, substituint $𝐉$ per $\sigma ({𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}+{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})$, i aprofitant el fet de que $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=0$, s'obté

${\mathrm{\nabla }}^2{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0\sigma {𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}+{\mu }_0\sigma {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}+{ϵ}_0{\mu }_0\partial {𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}/\partial t)$

Si s'observa que tots els camps tenen la mateixa dependència temporal de $\exp (-i\omega t)$, les derivades respecte al temps són senzilles, i s'obté la següent equació d'ona no homogénea:

${\mathrm{\nabla }}^2{𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}+{\mu }_0{\omega }^2({ϵ}_0+i\sigma /\omega ){𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=-i{\mu }_0\omega \sigma {𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z)$

en solució particular:

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}^P=-{𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z)$

Per a la solució completa, se sumixca a la solució particular la solució general de l'equació homogénea, que és una superposició d'ones planes que viagen en direccions arbitràries:

${\left({𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}^c\right)}_i=\int g_i(𝜽,𝝓)\exp (i{𝐤}^{\prime }\cdot 𝐫)d\Omega$

a on $k^{\prime }$ es troba a partir de l'equació homogénea que és

$k^{\prime 2}={\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^2(1+i\frac{\sigma }{{ϵ}_0\omega })$

Deu tindre's en conte que s'ha pres la solució com una superposició coherent d'ones planes. Per la simetria, se sap que els camps seran iguals en un pla perpendicular a l'eix $z$. Per lo tant, ${𝐤}^{\prime }\cdot 𝐚=0,$ a on $𝐚$ és un desplaçament perpendicular a $z$.

Com no hi ha fronteres en la regió $z>0$, s'espera una ona que viage cap a la dreta. La solució de l'equació homogénea es convertix en,

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}^c={𝐄}_T\exp \left(i{k}^{\prime }z\right)$

Sumant açò a la solució particular, s'obté l'ona radiada dins del mig ($z>0$)

${𝐄}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=-{𝐄}_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}(z)+{𝐄}_T\exp \left(i{k}^{\prime }z\right)$

El camp total en qualsevol posició $z$ és la suma dels camps incident i radiado en eixa posició. Sumant els dos components dins del mig, s'obté el camp total:

$\mathrm{E}(z)={\mathrm{E}}_T\exp \left(i{k}^{\prime }z\right),z>0$

Esta ona viaja dins del dielèctric a una velocitat $c/n,$:

$n=c{k}^{\prime }/\omega =\sqrt{1+i\frac{\sigma }{{ϵ}_0\omega }}$

Es pot simplificar el $n$ anterior a una forma familiar de l'índex de refracció d'un dielèctric isotrópico llineal. Per a això, n'hi ha prou en recordar que en un dielèctric llineal un camp elèctric aplicat $𝐄$ induïx una polarisació $𝐏$ proporcional al camp elèctric $𝐏={ϵ}_0{\chi }_e𝐄$. Quan el camp elèctric canvia, les càrregues induïdes es mouen i produïxen una densitat de corrent donada per $\partial 𝐏/\partial t$. Com la dependència del camp elèctric sobre el temps és $\exp (-i\omega t)$, resulta que

$𝐉=-i{ϵ}_0\omega {\chi }_e𝐄,$

lo que implica que la conductivitat

$\sigma =-i{ϵ}_0\omega {\chi }_e.$

Llavors, substituint la conductivitat en l'equació de $n$, s'obté

$n=\sqrt{1+{\chi }_e}$

que és una forma més familiar. Per a la regió $z<0$, s'impon la condició d'una ona que viaja cap a l'esquerra. En establir la conductivitat en esta regió $\sigma =0$, s'obté l'ona reflectida

$\mathrm{E}(z)={\mathrm{E}}_R\exp (-ikz),$

viajant a la velocitat de la llum.

Per últim, tinga's en conte que la nomenclatura de coeficients, ${𝐄}_T$ i ${𝐄}_R$, solament s'adopta per a mostrar que el resultat coincidix en lo que s'esperava.