Teorema de Cauchy (geometria)

La teorema de Cauchy és una teorema en geomètric, cridat aixina per Augustin Cauchy. Afirma que

Quan dos politopos convexos en tres dimensions tenen les seues cares corresponents congruents entre sí, llavors els propis politopos també són congruents entre sí.

És dir, qualsevol desenroll d'un poliedre format en desplegar les seues cares sobre una superfície plana, junt en les instruccions de pegat que descriuen qué cares deuen conectar-se entre sí, determina de forma única la forma del poliedre original. Per eixemple, si sis quadrats estan conectats en el patró d'una gaveta, llavors deuen formar una gaveta: no hi ha un poliedre convexo en sis cares quadrades conectades de la mateixa manera que no tinga la mateixa forma.

Est és un resultat fonamental en la teoria de la rigidea: una conseqüència de la teorema és que, si es construïx un model físic d'un politopo convexo conectant plaques rígides per a cada una de les cares del poliedre en frontices flexibles en les vores del poliedre, llavors este conjunt de plaques i les frontices formaran necessàriament una estructura rígida.

Declaració

Siguen P i Q politopos convexos tridimensionals combinatoriamente equivalents; és dir, politopos convexos en retículas d'arestes isomorfas. Suponga's ademés que cada parell de cares corresponents de P i Q són congruents entre sí, és dir, que es poden superpondre per mig d'un moviment rígit. Llavors, P i Q són congruents.

Per a vore que la condició de convexidad és necessària, considere's un icosaedre regular. En este cas, és possible "espentar" cap a dins un vèrtiç per a crear un poliedre no convexo que encara és combinatoriamente equivalent a l'icosaedre regular. Una atra forma de vore-ho és considerar la piràmide pentagonal al voltant d'un vèrtiç de l'icosaedre, i reflectir-la sobre la seua base.

Archiu:Icosahedron.svg

Icosaedre regular convexo

Història

El resultat es va originar a partir dels Elements d'Euclides, a on els sòlits es consideren iguals si succeïx lo mateix en les seues cares. Esta versió del resultat va ser provada per Cauchy en 1813 basant-se en un treball anterior de Lagrange. Un error en la prova de Cauchy del lema principal va ser corregit per Ernst Steinitz, Isaac Jacob Schoenberg i Aleksandr Danílovich Aleksándrov. La demostració corregida de Cauchy és tan curta i elegant, que figura en l'obra de referència titulada Proofs from THE BOOK.

Bibliografia

• A. L. Cauchy, "Recherche sur els polyèdres - premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique '9' (1813), 66–86.
• Max Dehn, "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (en alemà), Math. Ann. '77' (1916), 466–473.
• Aleksandr Danílovich Aleksándrov, Convex polyhedra , GTI, Moscou, 1950. Traducció d'English: Springer, Berlín, 2005.
• James J. Stoker, "Problemes geomètrics relacionats en els poliedres grans", Comm. Pure Appl. Math. '21' (1968), 119-168.
• Robert Connelly, "Rigidea", en Manual de geometria convexa , vol. A, 223–271, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1993.