Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

La teorema de Pickands-Balkema-De Haan, freqüentment denominat segona teorema de la teoria de valors extrems, proporciona la distribució asintòtica de la coa d'una variable aleatòria, quan es desconeix la seua verdadera distribució. A sovint se li crida la segona teorema en la teoria de valors extrems. A diferència de la primera teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), que es referix al màxim d'una mostra, la teorema de Pickands-Balkema-De Haan descriu els valors per damunt d'un llindar.

La teorema deu el seu nom als matemàtics James Pickands, Guus Balkema i Laurens de Haan.

Funció de distribució condicional de l'excés

Per a una funció de distribució desconeguda $F$ d'una variable aleatòria $X$, la teorema de Pickands-Balkema-De Haan descriu la funció de distribució condicional $F_u$ de la variable $X$ per damunt d'un cert llindar $u$. Esta és l'anomenada funció de distribució condicional de l'excés de distribució, definida com

per a $0\le y\le x_F-u$, a on $x_F$ és l'extrem dret finito o infinit de la distribució subjacent $F$. La funció $F_u$ descriu la distribució del valor excedent sobre un llindar $u$, ya que se supera el llindar.

Enunciat

Siga $F_u$ la funció de distribució condicional de l'excés. Pickands, Balkema i De Haan va plantejar que per a una gran classe de funcions de distribució subjacents $F$, i grans $u$, $F_u$ s'aproxima be per la distribució generalisada de Pareto, en el següent sentit. Supongam que existixen funcions $a(u),b(u)$, en $a(u)>0$ tals que $F_u(a(u)y+b(u))$ com $u\to \mathrm{\infty }$ convergixen a una distribució no degenerada, llavors dit llímit és igual a la distribució generalisada de Pareto:

On

• $G_{K,\sigma }(Y)=1-(1+ky/\sigma {)}^{-1/k}$, si $K\ne 0$
• $G_{K,\sigma }(Y)=1-e^{-y/\sigma }$, si $K=0.$

Ací σ   >  0, i i  ≥  0 quan k  ≥  0 i 0  ≤  i  ≤  &menys; σ /k quan k  < 0. Estos casos especials també es coneixen com:

• Distribució exponencial en mija $\sigma$, if k =  0,

• Distribució uniforme en $[0,\sigma ]$, si k = -1,

• Distribució de Pareto, si k  > 0.

La classe de funcions de distribució subjacents $F$ estan relacionades en la classe de les funcions de distribució $F$ satisfan la teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko.

Ya que un cas especial de la distribució generalisada de Pareto és una llei de potències, la teorema de Pickands-Balkema-De Haan s'utilisa a voltes per a justificar l'us d'una llei de potències per a modelar events extrems.

La teorema s'ha estés per a incloure una gama més àmplia de distribucions. Mentres que les versions esteses cobrixen, per eixemple, les distribucions normal i log-normal, les distribucions seguixen sent contínues existixen que no estan coberts.

Vore també

• Distribució estable

Referències

Bibliografia

• Balkema, A.; de Haan, Laurens (1974). "Residual life clave at great age", Annals of Probability, 2, 792–804.
• Pickands, J. (1975). "Statistical inference using extreme order statistics", Annals of Statistics, 3, 119–131.