Teorema de la bola peluda

Archiu:Hairy ball.png

Si un camp vectorial sobre una esfera se simbolisa per pèls de llongitut constant, la teorema de la bola peluda estipula que l'esfera conté a lo manco un rull. La figura conté dos, un en cada pol.

En matemàtica, i més precisament en topología diferencial, la teorema de la bola peluda és un resultat que s'aplica a esferes que en cada punt posseïxen un vector, visualisat com un «pèl» tangente a la superfície. Afirma que la funció que associa a cada punt de l'esfera el vector admet a lo manco un punt de discontinuidad, lo que significa que el pentinat conté un «bucle» o «rull», és dir que hi haurà zones buides (o calvicie).

De manera més rigorosa, un camp vectorial continu definit sobre una esfera de dimensió parell, a lo manco igual a 2, s'anula en a lo manco un punt. Este resultat es relaciona en les cridades teoremes de punt fix i té numeroses aplicacions en àrees com la meteorologia o la computació gràfica.

Representació intuïtiva

Es representa intuitivamente una esfera recoberta per pèls plans i no crespos, cada punt de l'esfera és la raïl d'un pèl. A continuació, es considera la proyecció sobre el pla tangente a l'esfera en el punt en que el pèl creix: el conjunt d'estes proyeccions dona una bona idea d'un camp de vectores tangentes a l'esfera. Lo que es busca llavors és "pentinar" estos pèls alisándolos sobre la superfície de la bola, evitant les discontinuïtats: el pentinat no té ralla, no es permet a cap pèl canviar bruscament de direcció sobre els atres. La teorema afirma llavors que és impossible obtindre este resultat: qualsevol intent causarà a lo manco un rull, és dir un punt en que un pèl es pararà.

Enunciat

Si $n$ és un sancer parell a lo manco igual a $2$, tot camp vectorial continu $X$ sobre l'esfera real $S_n$ s'anula en un punt a lo manco; és dir que existix $v$ (que depén de $X$) tal que: $X(v)=0$.

Nota: en dimensió impar, sí és possible construir camps vectorials continus que no s'anulen mai.

Vore també

• Teorema del punt fix de Brouwer
• Erro al crear miniatura: Teoremes de punt fix

Bibliografia

• J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint Princeton Univ. 1997 ISBN 069104833957. (en anglés)
• N. E. Chinn W. G. Steenrod Topologie élémentaire Dunod 1991 ISBN 2040048480. (en francés)
• M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571–574. (en anglés)
• Murray Eisenberg, Robert Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 7 (Aug. - Sep., 1979), pp. 571–574. (en anglés)