Teorema de la funció oberta

En matemàtiques, hi ha dos teoremas en el nom "Teorema de la funció oberta".

Anàlisis funcional

En anàlisis funcional, la teorema de la funció oberta, també conegut com la teorema de Banach-Schauder, és un resultat fonamental que establix: si A: X → I és un operador llineal continu sobreyectivo entre els espais de Banach X i I, llavors A és una funció oberta (és dir si O és un conjunt obert en X, llavors A(O) és obert en I).

La prova utilisa el Teorema de categories de Baire.

La teorema de la funció oberta té dos conseqüències importants:

• Si A: X → I és un operador llineal continu biyectivo entre els espais de Banach X i I, llavors l'operador invers A^-1: I → X és continu també (açò es diu la teorema de la funció inversa).

• Si A: X → I és un operador llineal entre els espais de Banach X i I, i si per a cada successió (x_n) en X en x_n → 0 i Ax_n → i se seguix que i = 0, llavors A és continu (teorema de la gràfica tancada).

Anàlisis complex

En anàlisis complex, la teorema de la funció oberta establix que si O és un subconjunt obert conexo del pla complex C i f: O → C és una funció holomorfa no-constant, llavors f és una funció oberta (és dir envia subconjunts oberts de O als subconjunts oberts de C).