Teorema de la gràfica tancada

En matemàtiques, la teorema del grafo tancat pot referir-se a un de varis resultats bàsics que caracterisen a les funcions contínues en térmens de les seues gràfiques. Cada u establix condicions per a que les funcions en grafo tancat siguen necessàriament contínues.

Gràfics tancats i aplicacions en grafos tancats

Artícul principal → Grafo tancat.

Si $f:X\to Y$ és una aplicació entre espais topològics, llavors el gràfic o grafo de $f$ és el conjunt $\mathrm{Gr}f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ o equivalentemente,

$\mathrm{Gr}f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$

Es diu que la gràfica de $f$ està tancada si $\mathrm{Gr}f$ és un subconjunt tancat de $X\times Y$ (en la topología producte).

Qualsevol funció contínua en un espai de Hausdorff té una gràfica tancada.

Qualsevol mapa llineal, $L:X\to Y,$ entre dos espais vectorials topològics les topología dels quals siguen completes (segons el criteri de Cauchy) sobre les mètriques invariantes de translació, i si ademés (1a) $L$ és secuencialmente contínua en el sentit de la topología del producte, llavors l'aplicació $L$ és contínua i la seua gràfica, Gr L, és necessàriament tancada. Pel contrari, si $L$ és una aplicació llineal en la que, en lloc de (1a), se sap que la gràfica de $L$ (1b) està tancada en l'espai producte cartesiano $X\times Y$, llavors $L$ és contínua i, per lo tant, necessàriament secuencialmente contínua.

Eixemples d'aplicacions contínues que no tenen un gràfic tancat

Si $X$ és un espai qualsevol, llavors l'aplicació identitat $\mathrm{Id}:X\to X$ és contínua, pero la seua gràfica, que és la diagonal $\mathrm{Gr}\mathrm{Id}:=\{(x,x):x\in X\},$, està tancada en $X\times X$ si i solament si $X$ és de Hausdorff. En particular, si $X$ no és de Hausdorff, llavors $\mathrm{Id}:X\to X$ és contínua pero té un gràfic tancat.

Siga $X$ el conjunt dels número real $ℝ$ en la topología euclídea habitual, i $Y$ denota $ℝ$ en una topología trivial (a on deu tindre's en conte que $Y$ és de Hausdorff, i que cada funció valorada en $Y$ és contínua). Ara, considere's que $f:X\to Y$ es definix per $f(0)=1$ i $f(x)=0$ para tot $x\ne 0$. Llavors, $f:X\to Y$ és contínua, pero la seua gràfica és està tancada en $X\times Y$.

Teorema del grafo tancat en topología de conjunts de punts

En topología general, la teorema del grafo tancat establix lo següent:

Els espais que no són de Hausdorff rara volta es veuen, pero els espais no compactes són comuns. Un eixemple de $Y$ no compacte és la recta real, que permet la funció discontínua en gràfica tancada

$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}\text{ si }x\ne 0,\\ 0\text{ en caso contrario }\end{array}$.

Vore també

• Aplicació llineal casi oberta
• Espai barrilado
• Grafo tancat
• Operador llineal tancat
• Aplicació llineal discontínua
• Teorema del punt fix de Kakutani
• Teorema de la funció oberta
• Teorema de Ursescu
• Espai reticulado
• Teorema principal de Zariski

Bibliografia

• (1987) Topological Vector Spaces: Chapters 1–5, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 17499190. ISBN 3-540-13627-4.

• Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1st edició, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-80958-6.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
• Munkres, James R. (2000). Topology, Second edició, Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc. OCLC 42683260. ISBN 978-0-13-181629-9.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.
• Convex Analysis in General Vector Spaces, River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. OCLC 285163112. ISBN 978-981-4488-15-0.