Teorema de reversión de Lagrange

Esta pàgina és sobre la Teorema de reversión de Lagrange. Per a l'inversió, vore el Teorema d'inversió de Lagrange.

En matemàtiques, la teorema de la reversión de Lagrange nos dona l'expansió en série de potències o en série formal de potències de certes funcions implícitament definides, de fet, de composicions de tals funcions.

Siga $v$ una funció de $x$ i $y$ definida a partir d'una atra funció $f$ tal que

$v=x+yf(v)$

Llavors, qualsevol funció $g(v)$ es pot desenrollar en série de Taylor al voltant de $v=x$ per a $y$ menut, és dir, es té

$g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{k-1}(f(x{)}^k{g}^{\prime }(x))$

Si $g(v)$ és la funció identitat, és dir, $g(v)=v$,

$v=x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{k-1}(f(x{)}^k)$

En 1770, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) va publicar la seua solució en série de potències de l'equació implícita de $v$ abans mencionada. No obstant, la seua solució era alguna cosa engorrosa, puix va utilisar desenrolls en série de logaritmos. En 1780, Pierre-Simon Laplace (1749–1827) va publicar una prova més simple de la teorema, la qual estava basada en relacions entre derivades parcialescon respecte a la variable $x$ i al paràmetro $y$. Charles Hermite (1822–1901) va presentar la prova més senzilla de la teorema usant integració de contorn.

La teorema de reversión de Lagrange s'usa per a obtindre solucions numèriques de l'equació de Kepler.