Teorema del valor mig de Cauchy

Archiu:Mvt2.svg

Interpretació geomètrica: per a qualsevol funció contínua en $[a,b]$ i diferenciable en $(a,b)$, llavors existix algun $c$ en l'interval $(a,b)$ de tal manera que la secante que unix els extrems de l'interval $[a,b]$ és paralela a la tangente en $c$.

Archiu:Cauchy.svg

Existix un punt de l'arc fixat a on la tangente és paralela a la corda.

En anàlisis matemàtic, i més concretament en càlcul diferencial, la teorema del valor mig de Cauchy és una generalisació del teorema del valor mig (de Lagrange). A partir d'est pot demostrar-se la regla de L'Hôpital, forta ajuda per al càlcul de llímits en indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Enunciat

La teorema, aparegut en la seua Cours d’Analyse (1821), s'enuncia de la següent manera:

Note's el cas particular en el qual g(x)=x, a on llavors l'expressió es reduïx al teorema del valor mig de Lagrange.

Demostració

• Siga G(x) una funció definida com:

$G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]$

a on f(x) i g(x) són funcions contínues en [a,b], derivables en (a,b). Es pot observar per simple inspecció que G(a)=0 i G(b)=0.

• Pel Teorema de Rolle, existix un c, pertanyent al interval (a,b), tal que G'(c)=0. Aixina, derivant G(x) s'obté:

$G^{\prime }(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f^{\prime }(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g^{\prime }(x)$

i sabent que G'(c) és 0

$0=[g(b)-g(a)]\cdot f^{\prime }(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g^{\prime }(c)$

d'a on es deduïx que

$[f(b)-f(a)]\cdot g^{\prime }(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^{\prime }(c)$

• Si g(b)-g(a) i g'(c) són distints de 0, l'expressió anterior pot ser escrita com:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Q.E.D.

Referències

• Plantilla:WolframDemonstrations
• Teorema del valor mig en MathWorld.
• Teorema del valor mig de Cauchy en MathWorld.