Teoremes de Helmholtz

En mecànica de decorreguts, les «teoremes de Helmholtz», que duen el nom d'Hermann von Helmholtz, descriuen el moviment tridimensional d'un decorregut en les proximitats de les llínees de vórtice. Estes teoremes s'apliquen als fluix viscosos i als fluix en els que l'influència de les forces viscoses és chicoteta i pot ignorar-se.

Les tres teoremes de Helmholtz són els següents:^[1]

Primera teorema de Helmholtz: La força d'un tubo de vórtice no varia en el temps.
Segona teorema de Helmholtz: Una llínea de vórtice no pot terminar en un decorregut; deu estendre's fins als llímits del decorregut o formar un camí tancat.
Tercera teorema de Helmholtz: Un element decorregut que és inicialment irrotacional permaneix irrotacional.

Les teoremes de Helmholtz s'apliquen a fluix no viscosos. En les observacions de vórtices en decorreguts reals, la força dels vórtices sempre decau gradualment per l'efecte disipativo de les forces viscoses.

Les expressions alternatives de les tres teoremes són les següents:

La força d'un tubo de vórtice no varia en el temps. La força d'un tubo de vórtice (circulació), es definix com:^[2]
Els elements decorreguts que es troben en una llínea de vórtice en un instant donat continuen en eixa llínea de vórtice. En poques paraules, les llínees de vórtice es mouen en el decorregut. Ademés, les llínees de vórtice i els tubos deuen aparéixer com un bucle tancat, estendre's fins a l'infinit o començar/terminar en llímits sòlits.
Els elements decorreguts inicialment lliures de vorticidad permaneixen lliures de vorticidad.

Les teoremes de Helmholtz es demostren ara generalment en referència al teorema de la circulació de Kelvin. No obstant, les teoremes de Helmholtz es varen publicar en 1858, ^[3] nou anys abans de la publicació de la teorema de Kelvin en 1867.

Referències

↑ Kuethe i Schetzer, Foundations of Aerodynamics, secció 2.14
↑ $Γ = \int_{A} \vec{ω} \cdot \vec{n} d A = \oint_{c} \vec{u} \cdot d \vec{s}$ a on $Γ$ és també la circulació, $\vec{ω}$ és la vorticidad del vector, $\vec{n}$ és el vector normal a una superfície A, format en prendre una secció travessera del tubo de vórtice en àrea elemental dona, $\vec{u}$ és el vector de velocitat en la curva tancada C, que delimita la superfície A. La convenció per a definir el sentit de circulació i la normal a la superfície A ve donada per la regla del tornell de la mà dreta. La tercera teorema establix que esta força és la mateixa per a totes les seccions travesseres A de el tubo i és independent del temps. Açò equival a dir $\frac{D Γ}{D t} = 0$
↑ Helmholtz, H. (1858). “Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche donen Wirbelbewegungen entsprechen.” (en). Journal für die regne und angewandte Mathematik 55: 25–55. ISSN 0075-4102.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoremas de Helmholtz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kuethe i Schetzer, Foundations of Aerodynamics, secció 2.14

[2] $Γ = \int_{A} \vec{ω} \cdot \vec{n} d A = \oint_{c} \vec{u} \cdot d \vec{s}$ a on $Γ$ és també la circulació, $\vec{ω}$ és la vorticidad del vector, $\vec{n}$ és el vector normal a una superfície A, format en prendre una secció travessera del tubo de vórtice en àrea elemental dona, $\vec{u}$ és el vector de velocitat en la curva tancada C, que delimita la superfície A. La convenció per a definir el sentit de circulació i la normal a la superfície A ve donada per la regla del tornell de la mà dreta. La tercera teorema establix que esta força és la mateixa per a totes les seccions travesseres A de el tubo i és independent del temps. Açò equival a dir $\frac{D Γ}{D t} = 0$

[3] Helmholtz, H. (1858). “Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche donen Wirbelbewegungen entsprechen.” (en). Journal für die regne und angewandte Mathematik 55: 25–55. ISSN 0075-4102.

[1]

[2]

[3]