Teorema de la circulació de Kelvin

En la mecànica de decorreguts, la teorema de circulació de Kelvin, cridat aixina per William Thomson, primer baró Kelvin que ho va publicar en 1869, diu que: En un decorregut barótropo ideal en forces corporals conservadores, la circulació al voltant d'una curva tancada (que tanca els mateixos elements del decorregut) que es mou en el decorregut permaneix constant en el temps. Dit matemàticament:

$\frac{\mathrm{D}\Gamma }{\mathrm{D}t}=0$

a on $\Gamma$ és la «circulació» al voltant d'un contorn material $C(t)$. Dit més simplement esta teorema diu que si s'observa un contorn tancat en un instant, i se seguix el contorn a lo llarc del temps, seguint el moviment de tots els seus elements decorreguts, la circulació sobre els dos llocs d'este contorn són iguals.

Esta teorema no se sosté en els casos de tensions viscoses, forces corporals no conservadores, per eixemple, una força de coriolis, o relacions de pressió-densitat no barótropas.

Demostració matemàtica

Plantilla:Vore La circulació $\Gamma$ al voltant d'un conjunt material tancat $C(t)$ ve definit per:

$\Gamma (t)={\oint }_C𝒖\cdot \mathrm{d}𝒔$

a on o és el vector velocitat i ds és un element a lo llarc del contorn tancat

L'equació gobernant per a un decorregut no viscós en una força corporal conservadora és:

$\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\Phi$

a on D/Dt és la derivada material, ρ és la densitat del decorregut, p és la pressió i Φ és el potencial de la força del cos. Estes són les equacions de Euler en una força corporal.

La condició de barotropicidad implica que la densitat és una funció solament de la pressió, és dir $\rho =\rho (p)$.

Prenent la derivada convectiva de la circulació s'obté:

$\frac{\mathrm{D}\Gamma }{\mathrm{D}t}={\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔+{\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}.$

Per al primer terme, substituïm de l'equació gobernant, i després apliquem el teorema de Stokes, de la següent manera:

${\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔=\underset{A}{\int }\mathrm{\nabla }\times (-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\Phi )\cdot 𝒏\mathrm{d}S=\underset{A}{\int }\frac{1}{{\rho }^2}(\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p)\cdot 𝒏\mathrm{d}S=0.$

L'igualtat final sorgix des de $\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p=0$ per la barotropicidad. També hem aprofitat el fet de que el rotacional de qualsevol gradient és necessàriament 0 , o $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=0$ per a qualsevol funció $f$.

Per al segon terme, observem que l'evolució del element de llínea material ve donada per

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}=(\mathrm{d}𝒔\cdot \mathrm{\nabla })𝒖.$

Per lo tant

${\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}={\oint }_C𝒖\cdot (\mathrm{d}𝒔\cdot \mathrm{\nabla })𝒖=\frac{1}{2}{\oint }_C\mathrm{\nabla }(|𝒖{|}^2)\cdot \mathrm{d}𝒔=0.$

L'última igualtat s'obté aplicant la teorema de Stokes. L'última igualtat s'obté aplicant el teorema de Stokes.

Com abdós térmens són zero, obtenim el resultat següent:

$\frac{\mathrm{D}\Gamma }{\mathrm{D}t}=0.$

Teorema de la circulació de Poincaré-Bjerknes

Un principi similar que conserva una cantitat pot obtindre's també per al marc giratori, conegut com la teorema de Poincaré-Bjerknes, cridat aixina pels seus autors Henri Poincaré i Vilhelm Bjerknes, que varen derivar la invariante en 1893. and 1898.

La teorema pot aplicar-se a un marc giratori que gira a una velocitat angular constant donada pel vector $𝜴$, per a la circulació modificada

$\Gamma (t)={\oint }_C(𝒖+𝜴\times 𝒓)\cdot \mathrm{d}𝒔$

Ací, $𝒓$ és la posició de l'àrea del decorregut. Segons el teorema de Stokes, açò és:

$\Gamma (t)=\underset{A}{\int }\mathrm{\nabla }\times (𝒖+𝜴\times 𝒓)\cdot 𝒏\mathrm{d}S=\underset{A}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝒖+2𝜴)\cdot 𝒏\mathrm{d}S$