Teoremes de Mohr

Les teoremes de Mohr, també cridades teoremes del moment d'àrea, descriuen la relació entre el moment flector i les deformacions que este produïx sobre una estructura. Les teoremes, generalisats pel ingenier civil alemà Christian Otto Mohr (1835-1918), permeten calcular deformacions a partir del moment i viceversa. Són métodos de càlcul vàlits per a estructures isostáticas i hiperestáticas regides per un comportament elàstic del material.

Usualment estes teoremes són conegudes com a Teoremes de Mohr, no obstant varen ser presentats pel matemàtic britànic Greene en 1873.

Primera teorema de Mohr: variacions angulars

L'àngul (${\theta }_{AB}$) que hi ha comprés entre dos tangentes en dos punts qualssevol A i B de la curva elàstica plana, és igual a l'àrea total del tros corresponent del diagrama de moments reduïts:

A on els ànguls deuen expressar-se en radianes. La teorema de Mohr diu que el gir d'un punt d'una elàstica (la deformada) respecte d'un atre punt de l'elàstica, es pot obtindre per mig de l'àrea de moments flectores entre A i B, dividit per la rigidea a flexión "EI". La variable x recorre l'eix baricéntrico de la peça prismàtica. Ho va descriure Christian Otto Mohr.

Deducció

Esta fòrmula pot ser obtinguda directament integrant l'equació de la curva elàstica linealizada:

Tenint en conte que les derivades de la flecha travessera v a l'eix poden coincidir aproximadament en els ànguls girats per la secció, l'equació anterior nos du que:

Expressió no linealizada

El "primera teorema de Mohr" en realitat proporciona una expressió aproximada per a menuts desplaçaments. Si es considera l'expressió completa de l'elàstica (no-linealizada) la primera teorema de Mohr resultaria:

Per a provar esta expressió es procedix igual que abans, integrant l'expressió de la curva elàstica, considerant esta volta l'expressió completa:

Tenint en conte ara que:

De la qual es deduïx trivialmente l'expressió (1b)

Segon teorema de Mohr: fleches

Donats dos punts A i B pertanyents a una llínea elàstica, i donada una recta vertical que passa per l'abscissa de A, la distància vertical entre la curva elàstica en A i l'intersecció de la tangente que passa per B i la recta vertical anterior és igual al moment estàtic sobre A de l'àrea de moments reduïts compresa entre A i B:

El moment estàtic recentment mencionat pot calcular-se en forma molt simple multiplicant l'àrea total del diagrama de moments reduïts compresa entre A i B per la distància entre A i el seu centre de gravetat. Per un atre costat, si la figura que representa el diagrama pot descompondre's en figures elementals tals com a rectànguls, triànguls, paràboles, etc., el moment estàtic total resultara ser la suma dels corresponents a cada una de les figures elementals.

Deducció

Existixen moltes deduccions diferents basades en principis físics. No obstant, realment la segona teorema de Mohr pot considerar-se un cas particular de desenrolle de Taylor fins a primer orde en residu en forma integral. Si aproximem la flecha o desplaçament travesser a l'eix del voltó per mig de la teorema de Taylor obtenim:

Reescrivint les derivades segones en térmens de la curva elàstica i les derivades primeres en térmens de girs angulars:

Es té que:

I interpretant geomètricament els térmens s'aprecia que la diferència entre el descens en A i el punt de tall de la tangente en B en creuar la vertical a $x_A$ és precisament ${\Delta }_{B|A}$:

Que és precisament l'expressió (2).