Moment flector

Voltó simplement recolzat, solicitada a flexión per una càrrega uniformemente distribuïda.

Flexión d'un voltó simplement recolzat.

Es denomina moment flector (o també "flexor"), o moment de flexión, a un moment de força resultant d'una distribució de tensions sobre una secció travessera d'un prisma mecànic flexionado o una placa que és perpendicular a l'eix llongitudinal a lo llarc del que es produïx la flexión.

És una solicitación típica en voltós i pilarés i també en lloses ya que tots estos elements solen deformar-se predominantment per flexión. El moment flector pot aparéixer quan se someten estos elements a l'acció d'un moment (torque) o també de forces puntuals o distribuïdes.

Els signes que determinen els moments flectores en voltons com a positius o negatius depenen de l'efecte que dit moment produïx , quan l'efecte del moment produïx tensions en les fibres inferiors del voltó es parla d'un moment positiu, mentres que si el moment produïx tensions en les fibres superiors del voltó es parlara que es va produir un moment negatiu.

Diagrama de moment flector

Per a elements llineals perpendiculars tipo agrane, el moment flector es definix com una funció a lo llarc del eix neutre de l'element, a on "x" representa la llongitut a lo llarc de dit eix. El moment flector aixina definit, donades les condicions d'equilibri, coincidix en la resultant de forces de totes les forces situades a un dels dos costats de la secció en equilibri en la que pretenem calcular el moment flector. Degut a que un element pot estar subjecte a vàries forces, càrregues distribuïdes i moments, el diagrama de moment flector varia a lo llarc del mateix. Aixina mateix les càrregues estaran completades en seccions i dividides per trams de seccions. En una peça de pla mig, si es coneix el desplaçament vertical de l'eix baricéntrico sobre dit pla el moment flector pot calcular-se a partir de l'equació de la curva elàstica:

A on:

$y(x)$ és el desplaçament vertical o desplaçament de la curva elàstica.

$E$ és el mòdul de Young del material del voltó.

$I_f$ és el segon moment d'àrea de la secció travessera del voltó.

Ademés el moment flector sobre un voltó de pla mig ve relacionat en l'esforç tallant per la relació:

Método de les seccions

El primer método que s'usa per a la construcció de diagrames de moments és el método de seccions, el qual consistix en realisar corts imaginaris a lo llarc d'un element i aplicar les equacions de l'equilibri. Suponga's que es realisa un tall imaginari sobre un voltó, com la peça continua en el seu lloc, es pot considerar que es troba empotrat a l'atra part del voltó, per lo que existixen reaccions que impedixen el desplaçament. En el cas del moment, és possible realisar una suma de moments en el punt en el que es va realisar el "cort". Es deu contar cada força, càrrega distribuïda i moment fins a a on es va realisar el tall. En el método de seccions és necessari realisar un tall per cada factor que canvie la distribució del diagrama de moments.

Método dels trams

Un atre método usat per a la construcció de diagrames de moments són les funcions discontínues, que servix per a construir una funció contínua a trams. En el cas de que un element estiguera somés a vàries forces, càrregues i moments la cantitat de corts que serien necessaris torna al procediment tediós i repetitiu. Si s'observa en esment, l'equació de moment aumenta un terme per cada cort que es realisa per la nova força, càrrega distribuïda o moment que s'agrega. L'us de les funcions discontínues consistix en agregar funciones rampa que es "activen" quan s'aplega a certa posició (a on abans es colocava el tall). Estes funcions es definixen com seguix:

Método de l'integració directa

Una atra possibilitat és usar fòrmules vectorials directes, si es tenen forces puntuals i reaccions verticals $P_1,\mathrm{...},P_n$ aplicades en els punts $x_1<\mathrm{...}<x_n$, una càrrega distribuïda contínua $q(x)$ i moments puntuals $M_1,\mathrm{...},M_m$ aplicats en punts ${\overline{x}}_1<\mathrm{...}<{\overline{x}}_m$, el moment flector total pot calcular-se directament com:

A on la suma sobre i s'estén fins a k donat per la condició $({\overline{x}}_k\le x)\text{y}({\overline{x}}_{k+1}>x)$ [análogamente per a j i l]. L'anterior funció serà contínua si i solament si tots els moments puntuals s'anulen, i serà diferenciable si solament existix càrrega contínua q. Quan les forces puntuals no siguen totes nules la funció serà contínua a trams. Una atra forma pràctica d'expressar l'última equació és:

que permet trobar la funció per mig d'una integral simple en lloc de doble. O en térmens de la funció escaló de Heaviside $u(\cdot )$:

Regla dels quatre moments

És la regla que relaciona els quatre moments d'un tram de voltó.

Siga $M_i$ el moment isostático que per a un voltó somés a càrrega uniformemente repartida, q, de llum, L és $M_i=q*L^2/8$

Siga M' el moment flector en l'extrem esquerre

Siga M'' el moment flector en l'extrem dret

Siga M el moment màxim en el va

La regla és la següent: $M_i=(\sqrt{(M+M^{\prime })}+\sqrt{(M+M^{″})}{)}^2/4$

Càlcul de tensions en flexión

En un element constructiu prismàtic somés a flexión es generen tensions normals a la secció travessera, $\sigma$, de sentit opost en la zona comprimida i en la zona traccionada, que generen un moment resultant de les tensions internes que iguala al moment exterior aplicat.

Flexión simple no desviada

Quan una peça prismàtica està sent flectada per un moment flector que coincidix vectorialmente en direcció en un dels eixos principals d'inèrcia es diu que està somés a flexión no desviada, si ademés no existix esforç axial la flexión es diu simple, i si ademés la secció té un pla de simetria perpendicular al moment, situació que succeïx típicament en les estructures convencionals, la tensió normal en qualsevol punt es produïx en un voltó o un element flectado en aplicar un moment flector es pot aproximar per la fòrmula de Navier:

A on M_f és el moment aplicat, i és la distància des del baricentre (centre de gravetat de la secció) a la fibra considerada, i I_f és el segon moment d'inèrcia de la secció sobre l'eix de flexión. Per a major practicidad, sol utilisar-se el moment resistent, calculat com:

A on $y_c$ és la distància màxima del baricentre a la cordonera superior o a la cordonera inferior, segons es vullga calcular compressió o tracció màximes.

Per a peces simètriques respecte del baricentre, carregades solament en forces contingudes en el pla de simetria que passa pel baricentre, el càlcul de la tensió màxima en valor absolut es reduïx al càlcul del cocient:

Flexión desviada i flexo-torsió

Per a peces no simètriques o en flexión desviada, la situació és més complicada. En peces no simètriques per eixemple el centre de tallant usualment no coincidix en el centre de gravetat la qual cosa provoca acoplament entre flexión i torsió, la qual cosa significa que si existix flexión existirà simultàneament torsió i viceversa, la qual cosa obliga a computar el moment torsor i les tensions tangencials per a poder estimar la tensió màxima.

En el cas de peces en flexión desviada, és dir, peces en flexión segons una direcció que no coincidix en els eixos principals d'inèrcia, la tensió pot estimar-se descomponent el moment flector segons els eixos principals d'inèrcia. Si ademés el centre de tallant coincidix en el centre de gravetat i l'alabeo de la secció pot despreciar-se, podem estimar la tensió màxima com:

${\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{N_x}{A}+\frac{M_{f1}}{W_1}+\frac{M_{f2}}{W_2}$

A on:

$A,W_1,W_2$, són l'àrea i els moments resistents de la secció.

$N_x,M_{f1},M_{f2}$, són l'esforç axial i les components del moment flector proyectat sobre els dos eixos d'inèrcia perpendiculars.

Quan ademés existix torsió no sent despreciable el alabeo, ni sent els eixos de referència necessàriament eixos principals l'expressió de la tensió en qualsevol punt genèric ve donada per:

$\sigma (x,y,z)=\frac{N_x(x)}{A}+\frac{z{I}_z-y{I}_{zy}}{I_y{I}_z-I_{yz}^2}{M}_y(x)-\frac{y{I}_y-z{I}_{yz}}{I_y{I}_z-I_{zy}^2}{M}_z(x)+\omega \frac{B_{\omega }(x)}{I_{\omega }}$

A on:

$I_z,I_y,I_{yz}$, són els moments d'àrea de la secció.

$I_{\omega }$, és el moment de alabeo.

$M_y,M_z,B_{\omega }$, són les components del moment flector sobre els eixos arbitraris i el bimomento associat a la torsió.