Torsió mecànica

Voltó circular baix torsió

En ingenieria, torsió és la solicitación que es presenta quan s'aplica un moment sobre el eix llongitudinal d'un element constructiu o prisma mecànic, com poden ser eixos o, en general, elements a on una dimensió predomina sobre les atres dos, encara que és possible trobar-la en situacions diverses.

La torsió es caracterisa geomètricament perque qualsevol curva paralela a l'eix de la peça deixa d'estar continguda en el pla format inicialment per les dos curves. En lloc d'això una curva paralela a l'eix es retortilla al voltant d'ell (vore torsió geomètrica).

L'estudi general de la torsió és complicat perque baix eixe tipo de solicitación la secció travessera d'una peça en general es caracterisa per dos fenomens:

Apareixen tensions tangencials paraleles a la secció travessera. Si estes es representen per un camp vectorial els seus llínees de fluix "circulen" al voltant de la secció.
Quan les tensions anteriors no estan distribuïdes adequadament, cosa que succeïx sempre a menos que la secció tinga simetria circular, apareixen alabeos seccionales que fan que les seccions travesseres deformades no siguen planes.

El alabeo de la secció complica el càlcul de tensions i deformacions, i fa que el moment torsor puga descompondre's en una part associada a torsió alabeada i una part associada a l'anomenada torsió de Saint-Venant. En funció de la forma de la secció i la forma del alabeo, poden usar-se diverses aproximacions més simples que el cas general.

Torsió general: Dominis de torsió

En el cas general es pot demostrar que el gir relatiu d'una secció no és constant i no coincidix tampoc en la funció d'alabeo unitari. A partir del cas general, i definint la esbeltez torsional com:

A on G, I són respectivament el mòdul d'elasticitat travessera i el mòdul elasticitat llongitudinal, J, I_ω són el mòdul torsional i el moment de alabeo i L és la llongitut de la barra recta. Podem classificar els diversos casos de torsió general dins de llímits a on resulten adequades les teories aproximades expostes a continuació. D'acort en Kollbruner i Basler:^[1]

Torsió de Saint-Venant pura, quan $λ_{T} \in (10, \infty)$ .
Torsió de Saint-Venant dominant, quan $λ_{T} \in [5, 10)$ .
Torsió alabeada mixta, quan $λ_{T} \in (2, 5)$ .
Torsió alabeada dominant, quan $λ_{T} \in (1 / 2, 2]$ .
Torsió alabeada pura, quan $λ_{T} \in (0, 1 / 2]$ .

El càlcul exacte de la torsió en el cas general pot portar-se a terme per mig de métodos variacionales o usant un lagrangiano basat en la energia de deformació. El cas de la torsió alabeada mixta només pot ser tractat la teoria general de torsió. En canvi la torsió de Saint-Venant i la torsió alabeada pures admeten algunes simplificació útils.

Torsió de Saint-Venant pura

La teoria de la torsió de Saint-Venant és aplicable a peces prismàtiques de gran inèrcia torsional en qualsevol forma de secció, en esta simplificació s'assumix que el cridat moment de alabeo és nul, la qual cosa no significa que el alabeo seccional també ho siga. La teoria de torsió de Saint-Venant dona bones aproximacions per a valors $λ_{T} > 10$ , açò sol complir-se en:

Seccions massices de gran inèrcia torsional (circulares o d'una atra forma).
Seccions tubulars tancades de paret prima.
Seccions multicelulares de paret prima.

Per a seccions no circulares i sense simetria de revolució la teoria de Sant-Venant ademés d'un gir relatiu de la secció travessera respecte a l'eix baricéntrico prediu un alabeo seccional o curvatura de la secció travessera. La teoria de Coulomb de fet és un cas particular en el que el alabeo és zero, i per tant només existix gir.

Torsió recta: Teoria de Coulomb

Vore també: Hipòtesis de Coulomb

Archiu:Skr-pr. caps block 4

Eixemple de solicitación que produïx un moment torsor constant i torsió recta sobre en una barra de secció cilíndrica.

La teoria de Coulomb és aplicable a eixos de transmissió de potència massiços o buits, per la simetria circular de la secció no poden existir alabeos diferencials sobre la secció. D'acort en la teoria de Coulomb la torsió genera una tensió tallant el qual es calcula per mig de la fòrmula:

$τ_{ρ} = \frac{T}{J} ρ$

A on:

τ_{ρ}

: Esforç tallant a la distància

ρ

.

T

: Moment torsor total que actua sobre la secció.

ρ

: distància des del centre geomètric de la secció fins al punt a on s'està calculant la tensió tallant.

J

: Mòdul de torsió.

Esta equació s'assenta en l'hipòtesis cinemàtica de Coulomb sobre com es deforma una peça prismàtica en simetria de revolució, és dir, és una teoria aplicable solament a elements secció circular o circular hueca. Per a peces en secció d'eixe tipo se supon que l'eix baricéntrico permaneix inalterado i qualsevol atra llínea paralea a l'eix es transforma en una espiral que gira al voltant de l'eix baricéntrico, és dir, s'admet que la deformació ve donada per uns desplaçaments del tipo:

u_{x} (x, y, z) = 0 u_{y} (x, y, z) = - α (x) z u_{z} (x, y, z) = + α (x) y

El tensor de deformacions per a una peça torsionada com l'anterior s'obté derivant adequadament les anteriors components del vector de desplaçament:

ε_{x x} = \frac{\partial u_{x}}{\partial x} = 0 ε_{x y} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{x}}{\partial y} + \frac{\partial u_{y}}{\partial x}) = - \frac{1}{2} \frac{\partial α}{\partial x} z = - \frac{α'_{x} z}{2}

ε_{y y} = \frac{\partial u_{y}}{\partial y} = 0 ε_{x z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{x}}{\partial z} + \frac{\partial u_{z}}{\partial x}) = + \frac{1}{2} \frac{\partial α}{\partial x} y = + \frac{α'_{x} y}{2}

ε_{z z} = \frac{\partial u_{z}}{\partial z} = 0 ε_{y z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{y}}{\partial z} + \frac{\partial u_{z}}{\partial y}) = 0

A partir d'estes components del tensor de deformacions usant les equacions de Lamé-Hooke duen a que el tensor tensió ve dau per:

Usant les equacions d'equivalència s'aplega a la relació existent entre la funció α i el moment torsor:

A on $I_{0} = I_{y} + I_{z}$ , és el moment d'inèrcia polar que és la suma dels segons moments d'àrea.

Torsió no recta: Teoria de Saint-Venant

Per a una barra recta de secció no circular ademés del gir relatiu apareixerà un menut alabeo que requerix una hipòtesis cinemàtica més complicada. Per a representar la deformació es pot prendre un sistema d'eixos en el que X coincidixca en l'eix del voltó i llavors el vector de desplaçaments d'un punt de coordenades (x, i, z) ve dau en la hipòtesis cinemàtica de Saint-Venant per:

A on $θ_{x} (x)$ és el gir relatiu de la secció (sent la seua derivada constant); sent z_C i i_C les coordenades del centre de tallant respecte al centre de gravetat de la secció travessera i sent ω(i, z) la funció d'alabeo unitari que dona els desplaçaments perpendiculars a la secció i permeten conéixer la forma curvada final que tindrà la secció travessera. Convé senyalar, que la teoria en postular que la derivada del gir és constant és només una aproximació útil per a peces de gran inèrcia torsional. Calculant les components del tensor de deformacions a partir de les derivades del desplaçament es té que:

Calculant les tensions a partir de les anteriors deformacions i introduint-les en l'equació d'equilibri elàstic s'aplega a:

Analogia de la membrana de Prandtl

Per a seccions massices de gran rigidea torsional la distribució de les tensions associades a la torsió guarda una analogia mecànica en la deformació d'una membrana elàstica cuasiplana. Concretament Prandtl va provar en 1903 que la forma que adopta la membrana pot relacionar-se en una funció de tensions que les seues derivades donen les tensions tangencials en cada direcció.^[2] Dit d'una atra manera la pendent d'una membrana de Prandtl deformada coincidixen en les tensions tangencials de torsió d'un prisma mecànic la secció travessera del qual tinga precisament la mateixa forma que la membrana.

En eixe cas per a una secció simplement conexa $Ω \subset ℝ^{2}$ (és dir, massiça), el problema de la torsió pot plantejar-se en térmens de la funció de tensions de Prandtl que ve definida per:

I en térmens d'estes les tensions vénen donades per:

Seccions tancades simples de paret prima

En este cas les tensions tangencials poden considerar-se aproximadament constants sobre una llínea paralela a la gruixa de la peça, és dir, perpendicular al contorn exterior de la peça. La tensió tangencial en este cas pot expressar-se per mig de:

$τ (s) = \frac{M_{x}}{2 e (s) A_{m}}$

A on:

A_{m}

, és l'àrea tancada per la llínea mija de la secció tubular.

e (s)

, és la gruixa de la secció tubular en el punt s de la curva del contorn.

Mentres que el gir:

En cas que la gruixa siga i(s) = i₀constant esta última equació es reduïx a:

$θ = \frac{L_{Γ}}{4 G A_{m}^{2} e_{0}} M_{x}$

Seccions multicelulares de paret prima

Referències

↑ Kollbruner, C.F. & Basler, K., Torsió in structures, an engineering approach, Springer, 1969.
↑ Prandtl, L.: "Zur torsion von prismatischen stäben", Phys. Z., 4, pp. 758-770 (1903).

Este artícul conté una traducció derivada de «Torsión mecánica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kollbruner, C.F. & Basler, K., Torsió in structures, an engineering approach, Springer, 1969.

[2] Prandtl, L.: "Zur torsion von prismatischen stäben", Phys. Z., 4, pp. 758-770 (1903).

[1]

[2]