Flexión mecànica

En ingenieria es denomina flexión al tipo de deformació que presenta un element estructural allargat en una direcció perpendicular a la seua eix llongitudinal. El terme "allargat" s'aplica quan una dimensió és dominant front a les atres. Un cas típic són les voltós, les que estan dissenyades per a treballar, principalment, a flexión. Igualment, el concepte de flexión s'estén a elements estructurals superficials com plaques o làminas.^[1]

La traça més destacada és que un objecte somés a flexión presenta una superfície de punts anomenada fibra neutra tal que la distància a lo llarc de qualsevol curva continguda en ella no varia sobre el valor abans de la deformació. l'esforç que provoca la flexión es denomina moment flector.

Flexión en voltons i arcs

Les voltós o arcs són elements estructurals pensats per a treballar predominantment en flexión. Geomètricament són prismes mecànics la rigidea dels quals depén, entre atres coses, del moment d'inèrcia de la secció travessera dels voltons. Existixen dos hipòtesis cinemàtiques comunes per a representar la flexión de voltons i arcs:

La hipòtesis de Navier-Euler-Bernoulli. En ella les seccions travesseres al eix baricéntrico es consideren en primera aproximació indeformables i es mantenen perpendicular al mateix (que es curva) despuix de la deformació.
La hipòtesis de Timoshenko. En esta hipòtesis s'admet que les seccions travesseres perpendicular a l'eix baricéntrico passen a formar un àngul en eixe eix baricéntrico per efecte del esforç tallant.

Teoria de Euler-Bernoulli

Archiu:ABAQUSsimulation on simple bending.gif

Voltó en voladizo de secció quadrada somesa a flexión recta simple, per mig d'una càrrega en l'extrem lliure. L'animació mostra una simulació per mig del método dels elements finitos, a on s'observen tensions creixents prop de la secció empotrada a mida que s'incrementa la càrrega (i també la deflexión deguda a ella).

La teoria de Euler-Bernoulli per al càlcul de voltons és la que es deriva de l'hipòtesis cinemàtica de Euler-Bernouilli, i pot amprar-se per a calcular tensions i desplaçaments sobre un voltó o arc de llongitut d'eix gran comparada en la vora màxima o altura de la secció travessera.

Per a escriure les fòrmules de la teoria de Euler-Bernouilli convé prendre un sistema de coordenades adequat per a descriure la geometria, un voltó és de fet un prisma mecànic sobre el que es poden considerar les coordenades (s, i, z) en s la distància a lo llarc de l'eix del voltó i (i, z) les coordenades sobre la secció travessera. Per al cas d'arcs este sistema de coordenas és curvilíneo, encara que per a voltons d'eix recte pot prendre's com cartesiano (i en eixe case s es nomena com a x). Per a un voltó de secció recta la tensió el cas de flexión composta esviada la tensió ve donada per la fòrmula de Navier:

A on:

I_{y}, I_{z}

són els segons moments d'àrea (moments d'inèrcia) segons els eixos I i Z.

I_{y z}

és el moment d'àrea mixt o producte d'inèrcia segons els eixos Z i Y.

M_{y} (x), M_{z} (x)

són els moments flectores segons les direccions I i Z, que en general varíarán segons la coordenada x.

N_{x} (x)

és l'esforç axial a lo llarc de l'eix.

Si la direcció dels eixos de coordenades (i, z) es prenen coincidentes en les direccions principals d'inèrcia llavors els productes d'inèrcia s'anulen i l'equació anterior se simplifica notablement. Ademés si es considera el cas de flexión simple no-desviada les tensions segons l'eix són simplement:

$σ (x, y, z) = - \frac{y M_{z} (x)}{I_{z}}$

Per un atre costat, en este mateix cas de flexión simple no esviada, el camp de desplaçaments, en l'hipòtesis de Bernoulli, ve donada per l'equació de la curva elàstica:

$\frac{d^{2} w (x)}{d x^{2}} = \frac{M_{z} (x)}{E I_{z}} \Rightarrow \frac{d^{4} w (x)}{d x^{4}} = \frac{q_{L} (x)}{E I_{z}}$

A on:

w (x)

representa la flecha, o desplaçament vertical, respecte de la posició inicial sense càrregues.

M_{z} (x)

representa el moment flector a lo llarc de l'ordenada x.

I_{z}

el segon moment d'inèrcia de la secció travessera.

E

el mòdul d'elasticitat del material.

q_{L} (x)

representa les càrregues a lo llarc de l'eix del voltó.

Teoria de Timoshenko

La diferència fonamental entre la teoria de Euler-Bernouilli i la teoria de Timoshenko és que en la primera el gir relatiu de la secció s'aproxima per mig de la derivada del desplaçament vertical, açò constituïx una aproximació vàlida només per a peces llargues en relació en les dimensions de la secció travessera, i llavors succeïx que les deformacions degudes al esforç tallant són despreciables front a les deformacions ocasionades pel moment flector. En la teoria de Timoshenko, a on no es desprecien les deformacions degudes al tallant i per tant és vàlida també per a voltons curts, l'equació de la curva elàstica ve donada pel sistema d'equacions més complex:

Derivant la primera de les dos equacions anteriors i substituyendo en ella la segona apleguem a l'equació de la curva elàstica incloent l'efecte de l'esforç tallant:

$\frac{d^{2} w}{d x^{2}} = \frac{1}{G A} \frac{d V_{y}}{d x} + \frac{M_{z}}{E I_{z}}$

Flexión en plaques i làmines

Una placa és un element estructural que pot presentar flexión en dos direccions perpendiculars. Existixen dos hipòtesis cinemàtiques comunes per a representar la flexión de plaques i làmines:

L'hipòtesis de Love-Kirchhoff
La hipòtesis de Reissner-Mindlin.

Sent la primera l'anàlec per a plaques de la hipòtesis de Navier-Bernouilli i el segon l'anàlec de l'hipòtesis de Timoshenko.

Teoria de Love-Kirchhoff

La teoria de plaques de Love-Kirchhoff és la que es deriva de l'hipòtesis cinemàtica de Love-Kirchhoff per a les mateixes i és anàloga a l'hipòtesis de Navier-Bernouilli per a voltons i per tant té llimitacions similars, i és adequada només quan la gruixa de la placa és suficientment chicotet en relació en el seu llarc i ample.

Per a una placa de gruixa constant h amprarem un sistema de coordenades cartesianas en (x, i) segons el pla que conté a la placa, i l'eix z es prendrà segons la direcció perpendicular a la placa (prenent z = 0 en el pla mig). En eixos eixos de coordenades les tensions segons les dos direccions perpendiculars de la placa són:

$σ_{x} (x, y, z) = \frac{m_{x} z}{I_{b}} σ_{y} (x, y, z) = \frac{m_{y} z}{I_{b}}$

A on:

I_{b} = h^{3} / 12

, és el segon moment d'àrea per unitat d'ample.

h

és la gruixa de la placa.

m_{x}, m_{y} = h^{3} / 12

, són els moments flectores per unitat d'ample, que poden relacionar-se en el camp de desplaçaments verticals w(x,i) per mig de les següents equacions:

$m_{x} = - D [\frac{\partial^{2} w (x, y)}{\partial x^{2}} + ν \frac{\partial^{2} w (x, y)}{\partial y^{2}}] m_{y} = - D [\frac{\partial^{2} w (x, y)}{\partial y^{2}} + ν \frac{\partial^{2} w (x, y)}{\partial x^{2}}]$

Per a trobar la flecha que apareix en l'equació anterior és necessari resoldre una equació en derivades parcials que és l'anàlec bidimensional a l'equació de la curva elàstica:

$\frac{\partial^{4} w (x, y)}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} w (x, y)}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} w (x, y)}{\partial y^{4}} = \frac{q_{S} (x, y)}{D}$

El factor:

es diu rigidea flexional de plaques a on:

E, ν

són les constants elàstiques del material: mòdul de Young i coeficient de Poisson.

h

és la gruixa de la placa.

Teoria de Reissner-Mindlin

La teoria de Reissner-Mindlin és l'anàlec per a plaques de la teoria de Timoshenko per a voltons. Aixina en esta teoria, a diferència de la teoria més aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al pla mig de la placa una volta deformada la placa no té per qué coincidir en el vector normal a la superfície mija deformada.

Referències

↑ Carlos Núñez, Antoni Roca, Jordi Jorba (2013). Comportament mecànic dels materials. Volum II. Ensajos mecànics. Ensajos no destructius, Edicions Universitat Barcelona, p. 50. ISBN 9788447537297.

Bibliografia

Monleón Cremades, S., Anàlisis de voltons, arcs, plaques i làmines, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Flexión mecánica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[CNARJJ-1] Carlos Núñez, Antoni Roca, Jordi Jorba (2013). Comportament mecànic dels materials. Volum II. Ensajos mecànics. Ensajos no destructius, Edicions Universitat Barcelona, p. 50. ISBN 9788447537297.

[1]