Test de convergència

En matemàtiques, els test de convergència són métodos per a evaluar la convergència, la convergència condicional, la convergència absoluta, l'interval de convergència i divergència d'una série infinita.

Llista de tests

Llímit del sumant

També denominat test preliminar. Si el llímit del sumant és indefinit o distint de zero, és dir, si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$ llavors la série divergix. En este sentit, les sumes parcials són Successió de Cauchy si i solament si este llímit existix i és igual a zero. El test no és concloent si el llímit del sumant és zero.

Criteri de d'Alembert

Suponem que existix $r$ tal que: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Si r < 1, llavors la série convergix. Si r > 1, llavors la série és divergent. Si r = 1, el test no és concloent, i la série pot convergir o divergir.

Criteri de la raïl de Cauchy

Definim r cóm:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

a on "lim sup" denota el llímit superior (possiblement ∞; si el llímit existix i és del mateix valor).

Si r < 1, llavors la série convergix. Si r > 1, llavors la série divergix. Si r = 1, el test no és concloent, i la série pot convergir o divergir.

Test de l'integral

La série es pot comparar en una integral i establir d'esta forma la convergència o divergència de la mateixa. Si $f:[1,\mathrm{\infty })\to {ℝ}_{+}$ és una funció positiva i monòtona decreixent tal que $f(n)=a_n$. Si

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

llavors la série convergix. Pero si l'integral divergix, llavors la série també ho fa. D'esta forma, la série convergix si i solament si l'integral convergix.

Test per comparació directa

Si la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ és absolutament convergent i $|a_n|\le |b_n|$ para a n suficientment gran, llavors la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix absolutament.

Test de comparació de llímits

Si $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$, i el llímit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existix i és diferent de zero, llavors $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix si i solament si $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ convergix.

Criteri de condensació de Cauchy

Siga $\left\{a_n\right\}$ una seqüència positiva no creixent. Llavors la suma $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix si i solament si la suma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ convergix. Ademés, si convergixen, llavors $A\le A^{*}\le 2A$.

Test d'Abel

Suponent que les següents condicions es complixen:

1. $\sum a_n$ és una série convergent,
2. $b_n$ és una successió monòtona i llimitada

Llavors $\sum a_n{b}_n$ és també convergent. Note's que este criteri és especialment útil suponent que $\sum a_n$ siga una successió convergent no absoluta (lligga's condicional). En el cas de que siga absolutament convergent, a pesar d'aplicar-se, és casi un corolari evident.

Test per a séries alternades

També conegut com Criteri de Leibniz, suponem que les següents suposicions són certes:

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és una série els térmens de la qual oscilen entre valors positius i negatius,
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$,
3. el valor absolut de cada terme és menor que el valor absolut del terme precedent.

Llavors podem afirmar que:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és una série convergent.

Test de Dirichlet

Sent $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$ seqüències d'número real o complexos que satisfan:

• $a_n\ge a_{n+1}$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$
• $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le M$ per a tot integre positiu $N$, a on $M$ és alguna constant,

llavors la série

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

convergix.

Vore també

• Regla de l'Hôpital